Самостоятельная работа 13 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. (x^2-4x)^2-(x-2)^2-16?0.
2. (x+1)(x+6)^2 (x+11)?-24.
3. x^2+x-8+12/(x^2+x)?0.
Положим $$y=x^2-4x.$$ Тогда
$$ (x^2-4x)^2-(x-2)^2-16\le 0 $$
$$ y^2-(x^2-4x+4)-16\le 0 $$
Так как $$x^2-4x+4=(x-2)^2,$$ получаем
$$ y^2-y-20\le 0. $$
Решим квадратное неравенство:
$$ y^2-y-20=(y+4)(y-5)\le 0, $$
откуда
$$ -4\le y\le 5. $$
Теперь решаем двойное неравенство:
$$ -4\le x^2-4x\le 5. $$
1) $$x^2-4x\ge -4,$$ то есть
$$ x^2-4x+4\ge 0, $$
$$ (x-2)^2\ge 0, $$
что верно при всех $$x.$$
2) $$x^2-4x\le 5,$$ то есть
$$ x^2-4x-5\le 0, $$
$$ (x-5)(x+1)\le 0. $$
Следовательно,
$$ -1\le x\le 5. $$
Положим $$y=x^2+12x.$$ Тогда
$$ (x+1)(x+6)^2(x+11)\le -24 $$
$$ (x^2+12x+11)(x^2+12x+36)\le -24 $$
$$ (y+11)(y+36)\le -24. $$
Перенесём $$-24$$ влево:
$$ y^2+47y+396\le -24, $$
$$ y^2+47y+420\le 0. $$
Разложим на множители:
$$ (y+35)(y+12)\le 0, $$
откуда
$$ -35\le y\le -12. $$
Теперь решаем двойное неравенство:
$$ -35\le x^2+12x\le -12. $$
1) $$x^2+12x\ge -35,$$ то есть
$$ x^2+12x+35\ge 0, $$
$$ (x+7)(x+5)\ge 0, $$
откуда
$$ x\le -7 \quad \text{или} \quad x\ge -5. $$
2) $$x^2+12x\le -12,$$ то есть
$$ x^2+12x+12\le 0. $$
Корни уравнения $$x^2+12x+12=0$$:
$$ x=-6\pm 2\sqrt{6}. $$
Значит,
$$ -6-2\sqrt{6}\le x\le -6+2\sqrt{6}. $$
Пересечение двух условий даёт
$$ x\in[-6-2\sqrt{6};-7]\cup[-5;-6+2\sqrt{6}]. $$
Положим $$y=x^2+x.$$ Тогда
$$ x^2+x-8+\frac{12}{x^2+x}\ge 0 $$
$$ y-8+\frac{12}{y}\ge 0. $$
Умножим на $$y^2$$, учитывая, что $$y\ne 0$$:
$$ \frac{(y-2)(y-6)}{y}\ge 0. $$
Решаем методом интервалов:
$$ y\in(0;2]\cup[6;+\infty). $$
Теперь возвращаемся к $$x$$.
1) $$0<x^2+x\le 2.$$
Из $$x^2+x>0$$ получаем
$$ x(x+1)>0 \quad \Rightarrow \quad x<-1 \ \text{или}\ x>0. $$
Из $$x^2+x\le 2$$ имеем
$$ x^2+x-2\le 0, $$
$$ (x+2)(x-1)\le 0, $$
$$ -2\le x\le 1. $$
Пересечение:
$$ [-2;-1)\cup(0;1]. $$
2) $$x^2+x\ge 6,$$ то есть
$$ x^2+x-6\ge 0, $$
$$ (x+3)(x-2)\ge 0, $$
откуда
$$ x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 2. $$
Итак,
$$ (-\infty;-3]\cup[-2;-1)\cup(0;1]\cup[2;+\infty). $$
Ответ
1) $$[-1;5]$$
2) $$[-6-2\sqrt{6};-7]\cup[-5;-6+2\sqrt{6}]$$
3) $$(-\infty;-3]\cup[-2;-1)\cup(0;1]\cup[2;+\infty)$$
