Самостоятельная работа 12 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. а) (x+2)(x-3)(x-4) < 0; б) (x+5)(x-2)/(x-1)^2?0. 2. а) (2x+1)/(x-3)?1; б) x/(x-4)+5/(x-1)+24/(x^2-5x+4)?0. 3. Решите систему неравенств: а) {x^2+x-2 > 0, x^2-x-12?0};
б) {x^2+2x-3?0, (x+3)/(x-2)?0};
в) {|x|?4, x^2-x-12?0}.

1. а) $$ (x-3)(x+2)(x-4)<0 $$

   Нули выражения: $$x=-2,\; x=3,\; x=4.$$

   Рассматриваем знаки на промежутках. Произведение отрицательно при

   $$x<-2,\quad 3<x<4.$$

   Ответ: $$(-\infty;-2)\cup(3;4).$$

2. б) $$\frac{(x+5)(x-2)}{(x-1)^2}\ge 0$$

   Так как $$ (x-1)^2>0 $$ при $$x\ne 1,$$ знак дроби определяется числителем.

   Тогда

   $$ (x+5)(x-2)\ge 0,\quad x\ne 1.$$

   Отсюда

   $$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 2,$$

   при этом $$x=1$$ не входит в найденные промежутки.

   Ответ: $$(-\infty;-5]\cup[2;+\infty).$$

3. 2. а) $$\frac{2x+1}{x-3}\le 1$$

   Перенесём единицу в левую часть:

   $$\frac{2x+1}{x-3}-1\le 0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{2x+1-(x-3)}{x-3}\le 0,$$

   $$\frac{x+4}{x-3}\le 0.$$

   Критические точки: $$x=-4,\; x=3.$$

   С учётом знаков получаем

   $$x\in[-4;3).$$

   Ответ: $$[-4;3).$$

4. б) $$\frac{x}{x-4}+\frac{5}{x-1}+\frac{24}{x^2-5x+4}\le 0$$

   Разложим знаменатель:

   $$x^2-5x+4=(x-4)(x-1).$$

   Тогда

   $$\frac{x}{x-4}+\frac{5}{x-1}+\frac{24}{(x-4)(x-1)}\le 0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{x(x-1)+5(x-4)+24}{(x-4)(x-1)}\le 0,$$

   $$\frac{x^2-x+5x-20+24}{(x-4)(x-1)}\le 0,$$

   $$\frac{x^2+4x+4}{(x-4)(x-1)}\le 0,$$

   $$\frac{(x+2)^2}{(x-4)(x-1)}\le 0.$$

   Область определения: $$x\ne 1,\; x\ne 4.$$

   Числитель неотрицателен, поэтому дробь не положительна, когда знаменатель отрицателен, а также при $$x=-2.$$

   Получаем

   $$x\in\{-2\}\cup(1;4).$$

   Ответ: $$\{-2\}\cup(1;4).$$

5. 3. а) $$\begin{cases} x^2+x-2>0,\\ x^2-x-12\le 0 \end{cases}$$

   1) $$x^2+x-2=(x+2)(x-1),$$ поэтому

   $$x<-2 \quad \text{или} \quad x>1.$$

   2) $$x^2-x-12=(x-4)(x+3),$$ поэтому

   $$-3\le x\le 4.$$

   Пересечение решений:

   $$[-3;-2)\cup(1;4].$$

   Ответ: $$[-3;-2)\cup(1;4].$$

6. б) $$\begin{cases} x^2+2x-3\ge 0,\\ \dfrac{x+3}{x-2}\le 0 \end{cases}$$

   1) $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1),$$ значит

   $$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

   2) $$\dfrac{x+3}{x-2}\le 0,$$ откуда

   $$-3\le x<2.$$

   Пересечение:

   $$\{-3\}\cup[1;2).$$

   Ответ: $$\{-3\}\cup[1;2).$$

7. в) $$\begin{cases} |x|\ge 4,\\ x^2-x-12\ge 0 \end{cases}$$

   1) $$|x|\ge 4 \iff x\le -4 \text{ или } x\ge 4.$$

   2) $$x^2-x-12=(x-4)(x+3),$$ поэтому

   $$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$

   Пересечение решений:

   $$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty).$$

   Ответ: $$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty).$$