Самостоятельная работа 11 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) A(x)=3x^3-2x^2+7x-4, B(x)=x^2+x-2;
б) A(x)=x^4-2x^3-13x^2-14x+24, B(x)=x^2+x-2.
2. С помощью схемы Горнера разделите многочлен А(х) на многочлен В(х), укажите неполное частное Q(x) и остаток В(х), если A(x)=3x^4-6x^2-15, B(x)=x-2.
3. С помощью теоремы Безу определите остаток R(x) от деления многочлена А(х) на многочлен В(х), если:
а) A(x)=5x^3-4x^2-12x-3, B(x)=x+1;
б) A(x)=(x-1)^9, B(x)=x-2.
4. Многочлен P_3(x)=x^3+ax^2+bx+12 при делении на (x-1) дает в остатке -12, а при делении на (x+1) дает в остатке -6. Определите коэффициенты a и b.
5. Решите уравнение:
а) 2x^3+7x^2+2x-3=0;
б) x^4-x^3-7x^2+x+6=0.

1. Выполним деление многочленов.

   а)

   $$3x^3-2x^2+7x-4=(x^2+x-2)(3x-5)+(18x-14)$$

   Следовательно, $$Q(x)=3x-5,$$ $$R(x)=18x-14.$$

   б)

   $$x^4-2x^3-13x^2-14x+24=(x^2+x-2)(x^2-3x-8)+(8-12x)$$

   Следовательно, $$Q(x)=x^2-3x-8,$$ $$R(x)=8-12x.$$

2. Разделим многочлен $$A(x)=3x^4-6x^2-15$$ на $$B(x)=x-2$$ по схеме Горнера.

   Коэффициенты многочлена: $$3,\ 0,\ -6,\ 0,\ -15.$$

   Получаем неполное частное $$Q(x)=3x^3+6x^2+6x+12,$$ остаток $$R=9.$$

3. По теореме Безу остаток при делении на $$x-a$$ равен $$A(a).$$

   а) Для $$B(x)=x+1$$ имеем $$a=-1.$$ Тогда

   $$A(-1)=5(-1)^3-4(-1)^2-12(-1)-3=-5-4+12-3=0.$$

   Значит, $$R=0.$$

   б) Для $$B(x)=x-2$$ имеем $$a=2.$$ Тогда

   $$A(2)=(2-1)^9=1.$$

   Значит, $$R=1.$$

4. Пусть $$P_3(x)=x^3+ax^2+bx+12.$$

   По условию:

   $$P_3(1)=-12,$$
   $$P_3(-1)=-6.$$

   Составим систему:

   $$ \begin{cases} 1+a+b+12=-12,\\ -1+a-b+12=-6. \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} a+b=-25,\\ a-b=-17. \end{cases} $$

   Складываем уравнения:
   $$2a=-42,$$
   $$a=-21.$$

   Тогда
   $$-21+b=-25,$$
   $$b=-4.$$

5. Решим уравнения разложением на множители.

   а)

   $$2x^3+7x^2+2x-3=0$$

   Подбором корня получаем $$x=-1.$$ Тогда

   $$2x^3+7x^2+2x-3=(x+1)(2x^2+5x-3).$$

   $$2x^2+5x-3=0$$

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49.$$

   $$x=\frac{-5\pm 7}{4}.$$

   $$x_1=-3,\quad x_2=\frac12.$$

   Итак, корни уравнения: $$x=-1,\ -3,\ \frac12.$$

   б)

   $$x^4-x^3-7x^2+x+6=0$$

   Подбором корней получаем $$x=-1$$ и $$x=1.$$ Тогда

   $$x^4-x^3-7x^2+x+6=(x+1)(x-1)(x^2-x-6).$$

   $$x^2-x-6=0$$

   $$D=1+24=25,$$
   $$x=\frac{1\pm 5}{2}.$$

   $$x_1=3,\quad x_2=-2.$$

   Итак, корни уравнения: $$x=-2,\ -1,\ 1,\ 3.$$

Ответ

1) а) $$Q(x)=3x-5,$$ $$R(x)=18x-14$$; б) $$Q(x)=x^2-3x-8,$$ $$R(x)=8-12x$$.
2) $$Q(x)=3x^3+6x^2+6x+12,$$ $$R=9$$.
3) а) $$0$$; б) $$1$$.
4) $$a=-21,$$ $$b=-4$$.
5) а) $$x=-3,\ -1,\ \frac12$$; б) $$x=-2,\ -1,\ 1,\ 3$$.