Самостоятельная работа 10 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) (x+1)^5; б) (x-3)^4.
2. Вычислите коэффициент при a^3 в разложении выражения (a+1/a)^9 по формуле бинома Ньютона.
3. Вычислите сумму коэффициентов C(10; 0)+C(10; 1)+C(10; 2)+C(10; 3)+…+C(10; 10).
4. Сколько рациональных членов содержит разложение (v5+v2)^102 по формуле бинома Ньютона?

1. По формуле бинома Ньютона:

   $$(x+1)^5=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1,$$

   $$(x-3)^4=x^4-12x^3+54x^2-108x+81.$$

2. Найдём коэффициент при $$a^3$$ в разложении $$\left(a+\frac{1}{a}\right)^9$$.

   Общий член разложения:
   $$ C_9^k a^{9-k}\left(\frac{1}{a}\right)^k=C_9^k a^{9-2k}. $$

   Требуемая степень:
   $$ 9-2k=3,\quad k=3. $$

   Тогда коэффициент равен
   $$ C_9^3=\frac{9!}{3!\,6!}=84. $$

3. Сумма коэффициентов:

   $$ C_{10}^0+C_{10}^1+C_{10}^2+\cdots+C_{10}^{10}=(1+1)^{10}=2^{10}=1024. $$

4. Рассмотрим разложение $$\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)^{102}$$.

   Общий член имеет вид
   $$ A_k=C_{102}^k(\sqrt{5})^{102-k}(\sqrt{2})^k. $$

   Чтобы член был рациональным, показатели корней должны быть чётными:
   $$ 102-k \text{ — чётное}, \quad k \text{ — чётное}. $$

   Значит, подходят все чётные значения $$k$$ от $$0$$ до $$102$$. Их количество:
   $$ \frac{102}{2}+1=52. $$

Ответ

1) $$x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$$; $$x^4-12x^3+54x^2-108x+81$$;
2) $$84$$;
3) $$1024$$;
4) $$52$$.