Итоговый тест Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1) a^(1/4); 2) (a^3)^(1/4); 3) 1/a^(1/4); 4) 1/(a^3)^(1/4).
А2. Упростите выражение (b^(2/5)-25)/(b^(1/5)+5)-b^(1/5).
1) -5; 2) 5; 3) b^(2/5); 4) b^(-2/5).
А3. Упростите выражение log(3; 18)-log(3; 2)+5^log(5; 2).
1) log(3; 2); 2) 0; 3) 4; 4) -log(3; 2).
А4. Решите неравенство (1/2)^(x-2) > 1/8.
1) (5; +?); 2) (-?; 5); 3) (-?; 1); 4) (1; +?).
А5. Укажите промежуток возрастания функции y=f(x), заданной графиком (рис. 42).
1) [-3; 0]; 2) [-4; 3]; 3) [-2; 2]; 4) [0; 3].
А6. Упростите выражение 2cos^(?/2)-cos(?)-1.
1) 2cos^2(?/2); 2) 2sin^2(?/2); 3) 2; 4) 0.
А7. Решите уравнение log(2; x)=1/2.
1) 1/2; 2) 2; 3) 4; 4) v2.
А8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log(2; x-2)=3.
1) (10; 13); 2) (9; 13); 3) (5; 7); 4) (7; 9).
А9. Найдите область определения функции y=v((x-1)/(x+1)).
1) (-?; -1)?[1; +?); 2) (-?; -1)?(1; +?); 3) (-?; -1]?(1; +?); 4) (-1; 1].
А10. Решите неравенство 9^x?1/3.
1) [-0,5; +?); 2) (-?; -0,5]; 3) [-2; +?); 4) (-?; -2).
А11. Решите неравенство 2^(x+2)+2^x > 20.
1) (-?; 2); 2) (-?; 2]; 3) (2; +?); 4) [2; +?).
А12. Найдите произведение корней уравнения lg^2(x)-3lg(x)-10=0.
1) 10; 2) -10; 3) 1/1000; 4) 1000.
А13. Решите уравнение 2cos^2(x)-3sin(x)=0.
1) (-1)^(m+1)•?/6+?m, m?Z; 2) (-1)^m•?/6+2?m, m?Z;
3) ±?/3+2?m, m?Z; 4) (-1)^m•?/6+?m, m?Z.
В1. Найдите сумму корней уравнения 1/(6•2^x-11)=1/(4^x-3).
В2. Найдите наибольшее целое решение неравенства
log(0,3; x+1)/(log(0,3; 100)-log(0,3; 9)) < 1. В3. Вычислите (7^(1/6)-2^(1/6))(7^(1/6)+2^(1/6))((7^(1/3)+2^(1/3))^2-14^(1/3)). В4. Сколько корней уравнения sin(x)+cos(x)=v2 принадлежит промежутку [-?; 2?]? В5. На соревнованиях по кольцевой трассе первый лыжник проходил круг на 2 мин быстрее второго и через час обогнал его на целый круг. За сколько минут первый лыжник проходил один круг? В6. Вычислите sin(?/6+?), если sin(?)=v3/2 и 0 < ? < ?/2. В7. Найдите значение выражения (1+cos(2?)-sin(2?))/(cos(?)+cos(?/2+?)), если cos(?)=-1/2.

1. А1. $$a^{\frac14}:a^{-\frac12}=a^{\frac14-(-\frac12)}=a^{\frac34}=\sqrt[4]{a^3}.$$

   Ответ: 2.

2. А2. $$\frac{b^{\frac25}-25}{b^{\frac15}+5}-b^{\frac15}=\frac{\left(b^{\frac15}-5\right)\left(b^{\frac15}+5\right)}{b^{\frac15}+5}-b^{\frac15}=b^{\frac15}-5-b^{\frac15}=-5.$$

   Ответ: 1.

3. А3. $$\log_3 18-\log_3 2+5^{\log_5 2}=\log_3\frac{18}{2}+2=\log_3 9+2=2+2=4.$$

   Ответ: 3.

4. А4. $$\left(\frac12\right)^{x-2}>\frac18=\left(\frac12\right)^3.$$

   Так как $$0<\frac12<1,$$ то показатель сравниваем с противоположным знаком:

   $$x-2<3,\quad x<5.$$

   Ответ: 2.

5. А5. Функция возрастает на промежутке $$[-3;0].$$

   Ответ: 1.

6. А6. $$2\cos^2\frac{\alpha}{2}-\cos\alpha-1=2\cdot\frac{1+\cos\alpha}{2}-\cos\alpha-1=0.$$

   Ответ: 4.

7. А7. $$\log_2 x=\frac12 \Rightarrow x=2^{\frac12}=\sqrt2.$$

   Ответ: 4.

8. А8. $$\log_2(x-2)=3 \Rightarrow x-2=2^3=8,\quad x=10.$$

   Число $$10$$ принадлежит промежутку $$ (9;13). $$

   Ответ: 2.

9. А9. Для области определения нужно:

   $$\frac{x-1}{x+1}\ge 0,\quad x\ne -1.$$

   Отсюда $$x\in(-\infty;-1)\cup[1;+\infty).$$

   Ответ: 1.

10. А10. $$9^x\le \frac13.$$

    Так как $$9=3^2,\ \frac13=3^{-1},$$ получаем:

    $$3^{2x}\le 3^{-1}\Rightarrow 2x\le -1\Rightarrow x\le -\frac12.$$

    Ответ: 2.

11. А11. $$2^{x+2}+2^x>20.$$

    $$4\cdot 2^x+2^x>20,\quad 5\cdot 2^x>20,\quad 2^x>4=2^2,$$

    значит, $$x>2.$$

    Ответ: 3.

12. А12. Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда

    $$y^2-3y-10=0,$$

    $$D=9+40=49,\quad y_1=-2,\ y_2=5.$$

    Следовательно,

    $$x_1=10^{-2},\quad x_2=10^5,\quad x_1x_2=10^3=1000.$$

    Ответ: 4.

13. А13. Пусть $$y=\sin x.$$ Тогда

    $$2\cos^2 x-3\sin x=0,$$

    $$2(1-\sin^2 x)-3\sin x=0,$$

    $$2-2y^2-3y=0,\quad 2y^2+3y-2=0.$$

    $$D=9+16=25,\quad y_1=-2,\ y_2=\frac12.$$

    Так как $$|\sin x|\le 1,$$ подходит только $$\sin x=\frac12.$$ Тогда

    $$x=(-1)^m\frac{\pi}{6}+\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$

    Ответ: 4.

14. В1. $$\frac{1}{6\cdot 2^x-11}=\frac{1}{4^x-3}.$$

    Тогда

    $$6\cdot 2^x-11=4^x-3.$$

    Положим $$y=2^x$$, тогда $$4^x=y^2$$:

    $$6y-11=y^2-3,$$

    $$y^2-6y+8=0,$$

    $$y_1=2,\ y_2=4.$$

    Значит,

    $$2^x=2 \Rightarrow x=1,\qquad 2^x=4 \Rightarrow x=2.$$

    Сумма корней:

    $$1+2=3.$$

15. В2. $$\frac{\log_{0{,}3}(x+1)}{\log_{0{,}3}100-\log_{0{,}3}9}<1.$$

    $$\log_{0{,}3}100-\log_{0{,}3}9=\log_{0{,}3}\frac{100}{9}.$$

    Тогда

    $$\frac{\log_{0{,}3}(x+1)}{\log_{0{,}3}\frac{100}{9}}<1.$$

    Так как $$0<0{,}3<1,$$ знак неравенства при переходе к основанию $$\frac{100}{9}$$ меняется:

    $$\log_{\frac{100}{9}}(x+1)<1.$$

    Отсюда

    $$0<x+1<\frac{100}{9},\quad -1<x<\frac{91}{9}.$$

    Наибольшее целое решение: $$10.$$

16. В3. Обозначим $$a=\sqrt[6]{7},\ b=\sqrt[6]{2}.$$ Тогда

    $$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2=\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2},$$

    а также

    $$\left(\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{2}\right)^2-\sqrt[3]{14}=\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}.$$

    Следовательно,

    $$A=\left(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\right)=\sqrt[3]{7^3}-\sqrt[3]{2^3}=7-2=5.$$

17. В4. $$\sin x+\cos x=\sqrt2.$$

    $$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

    Тогда

    $$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2,\quad \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

    $$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

    На отрезке $$[-\pi;2\pi]$$ подходит только одно значение: $$x=\frac{\pi}{4}.$$

    Ответ: 1.

18. В5. Пусть первый лыжник проходит круг за $$x$$ минут, тогда второй — за $$x+2$$ минут. За 60 минут первый проходит $$\frac{60}{x}$$ кругов, второй — $$\frac{60}{x+2}$$ круга. По условию:

    $$\frac{60}{x}=\frac{60}{x+2}+1.$$

    $$60(x+2)=60x+x(x+2),$$

    $$x^2+2x-120=0.$$

    $$D=4+480=484,\quad x_1=-12,\ x_2=10.$$

    Подходит $$x=10$$.

19. В6. $$\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2},\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$

    Значит, $$\alpha=\frac{\pi}{3}.$$ Тогда

    $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1.$$

20. В7. Пусть

    $$A=\frac{1+\cos 2\alpha-\sin 2\alpha}{\cos\alpha+\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)},\quad \cos\alpha=-\frac12.$$

    Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha,$$ то знаменатель равен $$\cos\alpha-\sin\alpha.$$

    Числитель:

    $$1+\cos 2\alpha-\sin 2\alpha=1+(2\cos^2\alpha-1)-2\sin\alpha\cos\alpha=2\cos\alpha(\cos\alpha-\sin\alpha).$$

    Тогда

    $$A=\frac{2\cos\alpha(\cos\alpha-\sin\alpha)}{\cos\alpha-\sin\alpha}=2\cos\alpha=2\cdot\left(-\frac12\right)=-1.$$

Ответ

А1 — 2; А2 — 1; А3 — 3; А4 — 2; А5 — 1; А6 — 4; А7 — 4; А8 — 2; А9 — 1; А10 — 2; А11 — 3; А12 — 4; А13 — 4; В1 — 3; В2 — 10; В3 — 5; В4 — 1; В5 — 10; В6 — 1; В7 — -1.