Контрольная работа 7 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) cos(x)=-1; б) sin(x)=v2/2; в) ctg(x)=-v3.
2. а) sin^2(x)+sin(x)-2=0; б) 3sin^2(x)-cos(x)+1=0.
3. а) sin(x)-cos(x)=0;
б) 3sin^2(x)+2v3sin(x)cos(x)+cos^2(x)=0.
4*. а) sin(x)=-0,5; б) cos(x)=1/3; в) tg(x)=-3.
5*. а) sin(x)+cos(x)=1; б) 2cos^2(x)+sin(4x)=1.
6*. Решите неравенство:
а) sin(x) < 0,5; б) cos(x) > 0,5; в) tg(x)?-3.
7*. Из города А в город В вышел пешеход. Через 3 ч после его выхода из города А в город В выехал велосипедист, а еще через час вслед за ним выехал мотоциклист. Все участники двигались равномерно и в какой-то момент времени оказались в одной точке маршрута. Мотоциклист прибыл в город В на 2 ч раньше велосипедиста. Через сколько часов после велосипедиста пешеход пришел в город В?
а) $$\cos x=-1$$
$$x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
в) $$\ctg x=-\sqrt3$$
$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
а) $$\sin^2 x+\sin x-2=0$$
Положим $$y=\sin x$$. Тогда
$$y^2+y-2=0$$
$$D=1+8=9,\quad y_1=-2,\quad y_2=1.$$
Так как $$|\sin x|\le 1,$$ подходит только $$\sin x=1.$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$3\sin^2 x-\cos x+1=0$$
$$3-3\cos^2 x-\cos x+1=0$$
Положим $$y=\cos x$$. Тогда
$$3y^2+y-4=0$$
$$D=1+48=49,\quad y_1=-\frac43,\quad y_2=1.$$
Так как $$|\cos x|\le 1,$$ подходит только $$\cos x=1.$$
$$x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
а) $$\sin x-\cos x=0$$
$$\tg x=1$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$3\sin^2 x+2\sqrt3\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
Положим $$y=\tg x$$. Тогда
$$3y^2+2\sqrt3\,y+1=0$$
$$\left(\sqrt3\,y+1\right)^2=0,\quad y=-\frac1{\sqrt3}.$$
$$\tg x=-\frac1{\sqrt3}$$
$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
а) $$\sin x=-0{,}5=-\frac12$$
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$\cos x=\frac13$$
$$x=\pm\arccos\frac13+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
в) $$\tg x=-3$$
$$x=-\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
а) $$\sin x+\cos x=1$$
$$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=1$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Отсюда
$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$
$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$2\cos^2 x+\sin 4x=1$$
$$2\cos^2 x-1+\sin 4x=0$$
$$\cos 2x+2\sin 2x\cos 2x=0$$
$$\cos 2x\,(1+2\sin 2x)=0.$$
1) $$\cos 2x=0$$, тогда
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
2) $$1+2\sin 2x=0,$$ тогда
$$\sin 2x=-\frac12.$$
Отсюда
$$2x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n.$$
Значит,
$$x=-\frac{5\pi}{12}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{12}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
а) $$\sin x<\frac12$$
$$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$\cos x>\frac12$$
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
в) $$\tg x\le -3$$
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le -\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Пусть $$x$$ км — расстояние от города А до места встречи, а $$y$$ км — расстояние от места встречи до города В.
Тогда для пешехода, велосипедиста и мотоциклиста получаем:
$$\frac{x}{v_п}=\frac{x+y}{v_в}+3,\qquad \frac{x}{v_п}=\frac{x+y}{v_м}+4,$$
а также
$$\frac{x+y}{v_в}-\frac{x+y}{v_м}=2.$$
Из условия следует, что после встречи мотоциклист ехал в 2 раза быстрее велосипедиста, поэтому $$\frac{y}{x}=2.$$
Тогда разность времени на оставшийся путь равна
$$\Delta t=3\cdot 2=6.$$
Значит, пешеход пришёл в город В через 6 ч после велосипедиста.
Ответ
1) а) $$x=\pi+2\pi n$$; б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n$$; в) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$.
2) а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; б) $$x=2\pi n$$.
3) а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$; б) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$.
4) а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$; б) $$x=\pm\arccos\frac13+2\pi n$$; в) $$x=-\arctg 3+\pi n$$.
5) а) $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n$$; б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ -\frac{\pi}{12}+\pi n,\ -\frac{5\pi}{12}+\pi n$$.
6) а) $$\left(-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\ \frac{\pi}{6}+2\pi n\right)$$; б) $$\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \frac{\pi}{3}+2\pi n\right)$$; в) $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\ -\arctg 3+\pi n\right]$$.
7) $$6\text{ ч}$$.
