Контрольная работа 6 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) cos(?+?)+2sin(?)sin(?), если ?-?=?;
б) sin^2(?)+sin(?-?)cos(?/2-?)/(tg(?+?)ctg(3?/2-?)), ???n/2, n?Z.
2. Вычислите sin(2004°)cos(1974°)-sin(1974°)cos(2004°).
3. Известно, что sin(?)=0,8, ?/2 < ? < ?. Вычислите: а) cos(?); б) sin(2?); в) cos(2?). 4. Постройте график функции y=cos(7x)cos(6x)+sin(7x)sin(6x). 5*. Вычислите cos(5°)-2sin(25°)sin(20°). 6*. Докажите справедливость равенства cos(44°)cos(16°)-cos(59°)cos(31°)=1/4. 7*. Пешеход вышел из города А в город В. Через час после этого навстречу ему выехал велосипедист из города В в город А. Через 2 ч после своего выезда велосипедист встретился с пешеходом, а через 1 ч после встречи прибыл в город А. Сколько времени был в пути пешеход?

1. 1а)

   $$A=\cos(\alpha+\beta)+2\sin\alpha\sin\beta,$$
   где $$\alpha-\beta=\pi.$$

   $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,$$

   $$A=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+2\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

   Так как $$\alpha-\beta=\pi,$$ то
   $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\pi=-1.$$

   Следовательно,
   $$A=-1.$$

2. 1б)

   $$B=\sin^2\alpha+\frac{\sin(\pi-\alpha)\cdot\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\tg(\pi+\alpha)\cdot\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}.$$

   Используем формулы:
   $$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,$$
   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha,$$
   $$\tg(\pi+\alpha)=\tg\alpha,$$
   $$\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\tg\alpha.$$

   Тогда
   $$B=\sin^2\alpha+\frac{\sin\alpha\cdot\sin\alpha}{\tg\alpha\cdot\tg\alpha} =\sin^2\alpha+\frac{\sin^2\alpha}{\tg^2\alpha}.$$

   Так как $$\tg^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha},$$ то
   $$\frac{\sin^2\alpha}{\tg^2\alpha}=\cos^2\alpha.$$

   Значит,
   $$B=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$

3. 2.

   $$\sin 2004^\circ\cos 1974^\circ-\sin 1974^\circ\cos 2004^\circ=\sin(2004^\circ-1974^\circ).$$

   $$\sin(30^\circ)=\frac12.$$

4. 3. Дано $$\sin\alpha=0{,}8,$$ $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$ Тогда $$\cos\alpha<0.$$

   а)
   $$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-0{,}64}=-\sqrt{0{,}36}=-0{,}6.$$

   б)
   $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot 0{,}8\cdot(-0{,}6)=-0{,}96.$$

   в)
   $$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot 0{,}64=1-1{,}28=-0{,}28.$$

5. 4.

   $$y=\cos 7x\cos 6x+\sin 7x\sin 6x=\cos(7x-6x)=\cos x.$$

   Значит, график данной функции совпадает с графиком функции $$y=\cos x.$$

6. 5.

   $$A=\cos 5^\circ-2\sin 25^\circ\sin 20^\circ.$$

   По формуле произведения в сумму:
   $$2\sin 25^\circ\sin 20^\circ=\cos 5^\circ-\cos 45^\circ.$$

   Тогда
   $$A=\cos 5^\circ-(\cos 5^\circ-\cos 45^\circ)=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}.$$

7. 6.

   $$\cos 44^\circ\cos 16^\circ-\cos 59^\circ\cos 31^\circ.$$

   Используем формулу
   $$\cos a\cos b=\frac{\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}.$$

   Тогда
   $$ \cos 44^\circ\cos 16^\circ=\frac{\cos 60^\circ+\cos 28^\circ}{2}, $$
   $$ \cos 59^\circ\cos 31^\circ=\frac{\cos 90^\circ+\cos 28^\circ}{2}. $$

   Вычитаем:
   $$ \frac{\cos 60^\circ+\cos 28^\circ}{2}-\frac{\cos 90^\circ+\cos 28^\circ}{2} =\frac{\cos 60^\circ-\cos 90^\circ}{2}. $$

   Так как $$\cos 60^\circ=\frac12,$$ $$\cos 90^\circ=0,$$ то
   $$ \frac{\frac12-0}{2}=\frac14. $$

8. 7.

   Пусть $$x$$ км/ч — скорость пешехода, $$y$$ км/ч — скорость велосипедиста.

   Пешеход шёл на 1 час дольше, чем ехал велосипедист до встречи, а после встречи велосипедист ехал ещё 1 час до города А. Значит, время движения велосипедиста до встречи равно $$2$$ ч, а пешехода до встречи — $$3$$ ч.

   Тогда расстояние между городами:
   $$S=2y=3x.$$

   Отсюда
   $$\frac{y}{x}=\frac{3}{2}.$$

   Время в пути пешехода:
   $$t=3+2=5\text{ ч}.$$

Ответ

1) а) $$-1$$; б) $$1$$.
2) $$\frac12$$.
3) а) $$-0{,}6$$; б) $$-0{,}96$$; в) $$-0{,}28$$.
4) $$y=\cos x$$.
5) $$\frac{\sqrt2}{2}$$.
6) $$\frac14$$.
7) $$5\text{ ч}$$.