Итоговый тест Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- А1. Упростите выражение $$a^{1/4}:a^{-1/2}$$.
1) $$a^{1/4}$$; 2) $$(a^3)^{1/4}$$; 3) $$\frac{1}{a^{1/4}}$$; 4) $$\frac{1}{(a^3)^{1/4}}$$. - А2. Упростите выражение $$\frac{b^{2/5}-25}{b^{1/5}+5}-b^{1/5}$$.
1) $$-5$$; 2) $$5$$; 3) $$b^{2/5}$$; 4) $$b^{-2/5}$$. - А3. Упростите выражение $$\log_3 18-\log_3 2+5^{\log_5 2}$$.
1) $$\log_3 2$$; 2) $$0$$; 3) $$4$$; 4) $$-\log_3 2$$. - А4. Решите неравенство $$\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}>\frac{1}{8}$$.
1) $$(5;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;5)$$; 3) $$(-\infty;1)$$; 4) $$(1;+\infty)$$. - А5. Укажите промежуток возрастания функции $$y=f(x)$$, заданной графиком (рис. 42).
1) $$[-3;0]$$; 2) $$[-4;3]$$; 3) $$[-2;2]$$; 4) $$[0;3]$$. - А6. Упростите выражение $$2\cos^{?/2}-\cos(?)-1$$.
1) $$2\cos^2(?/2)$$; 2) $$2\sin^2(?/2)$$; 3) $$2$$; 4) $$0$$. - А7. Решите уравнение $$\log_2 x=\frac{1}{2}$$.
1) $$\frac{1}{2}$$; 2) $$2$$; 3) $$4$$; 4) $$\sqrt{2}$$. - А8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения $$\log_2(x-2)=3$$.
1) $$(10;13)$$; 2) $$(9;13)$$; 3) $$(5;7)$$; 4) $$(7;9)$$. - А9. Найдите область определения функции $$y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$$.
1) $$(-\infty;-1)\cup[1;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;-1]\cup(1;+\infty)$$; 4) $$(-1;1]$$. - А10. Решите неравенство $$9^x? \frac{1}{3}$$.
1) $$[-0{,}5;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;-0{,}5]$$; 3) $$[-2;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;-2)$$. - А11. Решите неравенство $$2^{x+2}+2^x>20$$.
1) $$(-\infty;2)$$; 2) $$(-\infty;2]$$; 3) $$(2;+\infty)$$; 4) $$[2;+\infty)$$. - А12. Найдите произведение корней уравнения $$\lg^2(x)-3\lg(x)-10=0$$.
1) $$10$$; 2) $$-10$$; 3) $$\frac{1}{1000}$$; 4) $$1000$$. - А13. Решите уравнение $$2\cos^2(x)-3\sin(x)=0$$.
1) $$(-1)^{m+1}\cdot\frac{\pi}{6}+\pi m,\ m\in\mathbb{Z}$$; 2) $$(-1)^m\cdot\frac{\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb{Z}$$; 3) $$\pm\frac{\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb{Z}$$; 4) $$(-1)^m\cdot\frac{\pi}{6}+\pi m,\ m\in\mathbb{Z}$$. - В1. Найдите сумму корней уравнения $$\frac{1}{6\cdot2^x-11}=\frac{1}{4^x-3}$$.
- В2. Найдите наибольшее целое решение неравенства $$\frac{\log_{0{,}3}(x+1)}{\log_{0{,}3}(100)-\log_{0{,}3}(9)}<1$$.
- В3. Вычислите $$(7^{1/6}-2^{1/6})(7^{1/6}+2^{1/6})\left((7^{1/3}+2^{1/3})^2-14^{1/3}\right)$$.
- В4. Сколько корней уравнения $$\sin(x)+\cos(x)=\sqrt{2}$$ принадлежит промежутку $$[-\pi;2\pi]$$?
- В5. На соревнованиях по кольцевой трассе первый лыжник проходил круг на 2 мин быстрее второго и через час обогнал его на целый круг. За сколько минут первый лыжник проходил один круг?
- В6. Вычислите $$\sin\left(\frac{?}{6}+?\right)$$, если $$\sin(?)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ и $$0
- В7. Найдите значение выражения $$\frac{1+\cos(2?)-\sin(2?)}{\cos(?)+\cos(?/2+?)}$$, если $$\cos(?)=-\frac{1}{2}$$.
А1. $$a^{\frac14}:a^{-\frac12}=a^{\frac14-(-\frac12)}=a^{\frac34}=\sqrt[4]{a^3}.$$
Ответ: 2.
А2. $$\frac{b^{\frac25}-25}{b^{\frac15}+5}-b^{\frac15}=\frac{\left(b^{\frac15}-5\right)\left(b^{\frac15}+5\right)}{b^{\frac15}+5}-b^{\frac15}=b^{\frac15}-5-b^{\frac15}=-5.$$
Ответ: 1.
А3. $$\log_3 18-\log_3 2+5^{\log_5 2}=\log_3\frac{18}{2}+2=\log_3 9+2=2+2=4.$$
Ответ: 3.
А4. $$\left(\frac12\right)^{x-2}>\frac18=\left(\frac12\right)^3.$$
Так как $$0<\frac12<1,$$ то показатель сравниваем с противоположным знаком:
$$x-2<3,\quad x<5.$$
Ответ: 2.
А5. Функция возрастает на промежутке $$[-3;0].$$
Ответ: 1.
А6. $$2\cos^2\frac{\alpha}{2}-\cos\alpha-1=2\cdot\frac{1+\cos\alpha}{2}-\cos\alpha-1=0.$$
Ответ: 4.
А7. $$\log_2 x=\frac12 \Rightarrow x=2^{\frac12}=\sqrt2.$$
Ответ: 4.
А8. $$\log_2(x-2)=3 \Rightarrow x-2=2^3=8,\quad x=10.$$
Число $$10$$ принадлежит промежутку $$(9;13).$$
Ответ: 2.
А9. Для области определения нужно:
$$\frac{x-1}{x+1}\ge 0,\quad x\ne -1.$$
Отсюда $$x\in(-\infty;-1)\cup[1;+\infty).$$
Ответ: 1.
А10. $$9^x\le \frac13.$$
Так как $$9=3^2,\ \frac13=3^{-1},$$ получаем:
$$3^{2x}\le 3^{-1}\Rightarrow 2x\le -1\Rightarrow x\le -\frac12.$$
Ответ: 2.
А11. $$2^{x+2}+2^x>20.$$
$$4\cdot 2^x+2^x>20,\quad 5\cdot 2^x>20,\quad 2^x>4=2^2,$$
значит, $$x>2.$$
Ответ: 3.
А12. Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда
$$y^2-3y-10=0,$$
$$D=9+40=49,\quad y_1=-2,\ y_2=5.$$
Следовательно,
$$x_1=10^{-2},\quad x_2=10^5,\quad x_1x_2=10^3=1000.$$
Ответ: 4.
А13. Пусть $$y=\sin x.$$ Тогда
$$2\cos^2 x-3\sin x=0,$$
$$2(1-\sin^2 x)-3\sin x=0,$$
$$2-2y^2-3y=0,\quad 2y^2+3y-2=0.$$
$$D=9+16=25,\quad y_1=-2,\ y_2=\frac12.$$
Так как $$|\sin x|\le 1,$$ подходит только $$\sin x=\frac12.$$ Тогда
$$x=(-1)^m\frac{\pi}{6}+\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$
Ответ: 4.
В1. $$\frac{1}{6\cdot 2^x-11}=\frac{1}{4^x-3}.$$
Тогда
$$6\cdot 2^x-11=4^x-3.$$
Положим $$y=2^x$$, тогда $$4^x=y^2$$:
$$6y-11=y^2-3,$$
$$y^2-6y+8=0,$$
$$y_1=2,\ y_2=4.$$
Значит,
$$2^x=2 \Rightarrow x=1,\qquad 2^x=4 \Rightarrow x=2.$$
Сумма корней:
$$1+2=3.$$
В2. $$\frac{\log_{0{,}3}(x+1)}{\log_{0{,}3}100-\log_{0{,}3}9}<1.$$
$$\log_{0{,}3}100-\log_{0{,}3}9=\log_{0{,}3}\frac{100}{9}.$$
Тогда
$$\frac{\log_{0{,}3}(x+1)}{\log_{0{,}3}\frac{100}{9}}<1.$$
Так как $$0<0{,}3<1,$$ знак неравенства при переходе к основанию $$\frac{100}{9}$$ меняется:
$$\log_{\frac{100}{9}}(x+1)<1.$$
Отсюда
$$0<x+1<\frac{100}{9},\quad -1<x<\frac{91}{9}.$$
Наибольшее целое решение: $$10.$$
В3. Обозначим $$a=\sqrt[6]{7},\ b=\sqrt[6]{2}.$$ Тогда
$$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2=\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2},$$
а также
$$\left(\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{2}\right)^2-\sqrt[3]{14}=\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}.$$
Следовательно,
$$A=\left(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\right)=\sqrt[3]{7^3}-\sqrt[3]{2^3}=7-2=5.$$
В4. $$\sin x+\cos x=\sqrt2.$$
$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$
Тогда
$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2,\quad \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1.$$
$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$
На отрезке $$[-\pi;2\pi]$$ подходит только одно значение: $$x=\frac{\pi}{4}.$$
Ответ: 1.
В5. Пусть первый лыжник проходит круг за $$x$$ минут, тогда второй — за $$x+2$$ минут. За 60 минут первый проходит $$\frac{60}{x}$$ кругов, второй — $$\frac{60}{x+2}$$ круга. По условию:
$$\frac{60}{x}=\frac{60}{x+2}+1.$$
$$60(x+2)=60x+x(x+2),$$
$$x^2+2x-120=0.$$
$$D=4+480=484,\quad x_1=-12,\ x_2=10.$$
Подходит $$x=10$$.
В6. $$\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2},\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$
Значит, $$\alpha=\frac{\pi}{3}.$$ Тогда
$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1.$$
В7. Пусть
$$A=\frac{1+\cos 2\alpha-\sin 2\alpha}{\cos\alpha+\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)},\quad \cos\alpha=-\frac12.$$
Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha,$$ то знаменатель равен $$\cos\alpha-\sin\alpha.$$
Числитель:
$$1+\cos 2\alpha-\sin 2\alpha=1+(2\cos^2\alpha-1)-2\sin\alpha\cos\alpha=2\cos\alpha(\cos\alpha-\sin\alpha).$$
Тогда
$$A=\frac{2\cos\alpha(\cos\alpha-\sin\alpha)}{\cos\alpha-\sin\alpha}=2\cos\alpha=2\cdot\left(-\frac12\right)=-1.$$
Ответ
А1 — 2; А2 — 1; А3 — 3; А4 — 2; А5 — 1; А6 — 4; А7 — 4; А8 — 2; А9 — 1; А10 — 2; А11 — 3; А12 — 4; А13 — 4; В1 — 3; В2 — 10; В3 — 5; В4 — 1; В5 — 10; В6 — 1; В7 — -1.
