Самостоятельная работа 9 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без повторения)?
3. Сколькими способами из 25 человек можно выбрать трех дежурных?
4. Сколькими способами из четырех мальчиков и пяти девочек можно выбрать дежурных — три мальчика и две девочки?
5. Вычислите: а) P(6); б) A(9; 3); в) C(10; 4).
в. Докажите, что для любых натуральных чисел k и n (1?k?n) справедливо равенство C(n; k)·(n+1)/(k+1)=C(n+1; k+1).

1. Число перестановок из 7 книг:

   $$P_7=7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5040.$$

2. Число четырёхзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения:

   $$A_5^4=\frac{5!}{(5-4)!}=5!=120.$$

3. Число способов выбрать 3 дежурных из 25 человек:

   $$C_{25}^3=\frac{25!}{3!(25-3)!}=\frac{25\cdot 24\cdot 23}{3\cdot 2\cdot 1}=2300.$$

4. Число способов выбрать 3 мальчиков из 4 и 2 девочек из 5:

   $$C_4^3\cdot C_5^2=\frac{4!}{3!\cdot 1!}\cdot \frac{5!}{2!\cdot 3!}=4\cdot 10=40.$$

5. Вычислим значения:

   а) $$P_6=6!=720;$$

   б) $$A_9^3=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9!}{6!}=9\cdot 8\cdot 7=504;$$

   в) $$C_{10}^4=\frac{10!}{4!\cdot 6!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=210.$$

6. Докажем равенство:

   $$C_n^k\cdot \frac{n+1}{k+1}=C_{n+1}^{k+1}, \quad 1\le k\le n.$$

   По формуле сочетаний:

   $$C_n^k\cdot \frac{n+1}{k+1}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot \frac{n+1}{k+1} =\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}.$$

   С другой стороны,

   $$C_{n+1}^{k+1}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\bigl((n+1)-(k+1)\bigr)!} =\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}.$$

   Следовательно,

   $$C_n^k\cdot \frac{n+1}{k+1}=C_{n+1}^{k+1}.$$

Ответ

1) 5040; 2) 120; 3) 2300; 4) 40; 5) а) 720, б) 504, в) 210; 6) равенство доказано.