Самостоятельная работа 8 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
2. Докажите, что 3^(n+2)+2^(3n) делится на 5 для любого натурального числа n.
3. Докажите, что для любого натурального числа n справедливо равенство
2·3+3·4+…+(n+1)(n+2)=n(n^2+6n+11)/3.
Докажем формулу $$a_n=a_1+(n-1)d$$ методом математической индукции.
1) База индукции. При $$n=1$$ получаем
$$a_1=a_1+(1-1)d=a_1.$$
Формула верна.
2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$k\in \mathbb{N}$$ верно
$$a_k=a_1+(k-1)d.$$
Тогда
$$a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd=a_1+((k+1)-1)d.$$
Следовательно, формула верна и для $$k+1$$.
По принципу математической индукции формула $$a_n=a_1+(n-1)d$$ верна для любого натурального $$n$$.
Докажем, что $$3^{n+2}+2^{3n}$$ делится на $$5$$ при любом натуральном $$n$$.
1) База индукции. При $$n=1$$
$$3^{1+2}+2^{3\cdot 1}=3^3+2^3=27+8=35,$$
а число $$35$$ делится на $$5$$.
2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$k\in \mathbb{N}$$ число
$$S=3^{k+2}+2^{3k}$$
делится на $$5$$. Рассмотрим
$$3^{(k+1)+2}+2^{3(k+1)}=3^{k+3}+2^{3k+3}.$$
Преобразуем:
$$3^{k+3}+2^{3k+3}=3\cdot 3^{k+2}+8\cdot 2^{3k}=3\bigl(3^{k+2}+2^{3k}\bigr)+5\cdot 2^{3k}.$$
Первое слагаемое делится на $$5$$ по предположению индукции, второе тоже делится на $$5$$. Значит, и вся сумма делится на $$5$$.
Следовательно, $$3^{n+2}+2^{3n}$$ делится на $$5$$ для любого натурального $$n$$.
Докажем равенство
$$2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+(n+1)(n+2)=\frac{n(n^2+6n+11)}{3}.$$
1) База индукции. При $$n=1$$ левая часть равна
$$2\cdot 3=6,$$
а правая часть:
$$\frac{1(1^2+6\cdot 1+11)}{3}=\frac{18}{3}=6.$$
Равенство верно.
2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$k\in \mathbb{N}$$ верно
$$2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+(k+1)(k+2)=\frac{k(k^2+6k+11)}{3}.$$
Тогда для $$k+1$$ получаем
$$2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+(k+1)(k+2)+(k+2)(k+3).$$
Подставим предположение индукции:
$$\frac{k(k^2+6k+11)}{3}+(k+2)(k+3)=\frac{k(k^2+6k+11)+3(k^2+5k+6)}{3}.$$
Упростим числитель:
$$k^3+6k^2+11k+3k^2+15k+18=k^3+9k^2+26k+18.$$
С другой стороны,
$$\frac{(k+1)\bigl((k+1)^2+6(k+1)+11\bigr)}{3}=\frac{(k+1)(k^2+8k+18)}{3}.$$
Раскрывая скобки, получаем
$$\frac{k^3+9k^2+26k+18}{3},$$
то есть именно то же выражение. Значит, равенство верно и для $$k+1$$.
Следовательно, данное равенство справедливо для любого натурального $$n$$.
Ответ
1) $$a_n=a_1+(n-1)d$$ для любого $$n\in\mathbb{N}$$.
2) $$3^{n+2}+2^{3n}$$ делится на $$5$$ при любом натуральном $$n$$.
3) $$2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+(n+1)(n+2)=\dfrac{n(n^2+6n+11)}{3}.$$
