Контрольная работа 6 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Упростите выражение: а) $$\cos(?+?)+2\sin(?)\sin(?)$$, если $$?-?=?$$; б) $$\sin^2(?)+\frac{\sin(?-?)\cos(?/2-?)}{\operatorname{tg}(?+?)\operatorname{ctg}(3?/2-?)}$$, $$???n/2,\ n?Z$$.
- Вычислите $$\sin(2004^\circ)\cos(1974^\circ)-\sin(1974^\circ)\cos(2004^\circ)$$.
- Известно, что $$\sin(?)=0,8$$, $$?/2
- Постройте график функции $$y=\cos(7x)\cos(6x)+\sin(7x)\sin(6x)$$.
- Вычислите $$\cos(5^\circ)-2\sin(25^\circ)\sin(20^\circ)$$.
- Докажите справедливость равенства $$\cos(44^\circ)\cos(16^\circ)-\cos(59^\circ)\cos(31^\circ)=\frac14$$.
- Пешеход вышел из города А в город В. Через час после этого навстречу ему выехал велосипедист из города В в город А. Через 2 ч после своего выезда велосипедист встретился с пешеходом, а через 1 ч после встречи прибыл в город А. Сколько времени был в пути пешеход?
1а)
$$A=\cos(\alpha+\beta)+2\sin\alpha\sin\beta,$$
где $$\alpha-\beta=\pi.$$$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,$$
$$A=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+2\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$
Так как $$\alpha-\beta=\pi,$$ то
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\pi=-1.$$Следовательно,
$$A=-1.$$1б)
$$B=\sin^2\alpha+\frac{\sin(\pi-\alpha)\cdot\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\tg(\pi+\alpha)\cdot\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}.$$
Используем формулы:
$$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha,$$
$$\tg(\pi+\alpha)=\tg\alpha,$$
$$\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\tg\alpha.$$Тогда
$$B=\sin^2\alpha+\frac{\sin\alpha\cdot\sin\alpha}{\tg\alpha\cdot\tg\alpha} =\sin^2\alpha+\frac{\sin^2\alpha}{\tg^2\alpha}.$$Так как $$\tg^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha},$$ то
$$\frac{\sin^2\alpha}{\tg^2\alpha}=\cos^2\alpha.$$Значит,
$$B=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$2.
$$\sin 2004^\circ\cos 1974^\circ-\sin 1974^\circ\cos 2004^\circ=\sin(2004^\circ-1974^\circ).$$
$$\sin(30^\circ)=\frac12.$$
3. Дано $$\sin\alpha=0{,}8,$$ $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$ Тогда $$\cos\alpha<0.$$
а)
$$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-0{,}64}=-\sqrt{0{,}36}=-0{,}6.$$б)
$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot 0{,}8\cdot(-0{,}6)=-0{,}96.$$в)
$$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot 0{,}64=1-1{,}28=-0{,}28.$$4.
$$y=\cos 7x\cos 6x+\sin 7x\sin 6x=\cos(7x-6x)=\cos x.$$
Значит, график данной функции совпадает с графиком функции $$y=\cos x.$$
5.
$$A=\cos 5^\circ-2\sin 25^\circ\sin 20^\circ.$$
По формуле произведения в сумму:
$$2\sin 25^\circ\sin 20^\circ=\cos 5^\circ-\cos 45^\circ.$$Тогда
$$A=\cos 5^\circ-(\cos 5^\circ-\cos 45^\circ)=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}.$$6.
$$\cos 44^\circ\cos 16^\circ-\cos 59^\circ\cos 31^\circ.$$
Используем формулу
$$\cos a\cos b=\frac{\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}.$$Тогда
$$\cos 44^\circ\cos 16^\circ=\frac{\cos 60^\circ+\cos 28^\circ}{2},$$
$$\cos 59^\circ\cos 31^\circ=\frac{\cos 90^\circ+\cos 28^\circ}{2}.$$Вычитаем:
$$\frac{\cos 60^\circ+\cos 28^\circ}{2}-\frac{\cos 90^\circ+\cos 28^\circ}{2} =\frac{\cos 60^\circ-\cos 90^\circ}{2}.$$Так как $$\cos 60^\circ=\frac12,$$ $$\cos 90^\circ=0,$$ то
$$\frac{\frac12-0}{2}=\frac14.$$7.
Пусть $$x$$ км/ч — скорость пешехода, $$y$$ км/ч — скорость велосипедиста.
Пешеход шёл на 1 час дольше, чем ехал велосипедист до встречи, а после встречи велосипедист ехал ещё 1 час до города А. Значит, время движения велосипедиста до встречи равно $$2$$ ч, а пешехода до встречи — $$3$$ ч.
Тогда расстояние между городами:
$$S=2y=3x.$$Отсюда
$$\frac{y}{x}=\frac{3}{2}.$$Время в пути пешехода:
$$t=3+2=5\text{ ч}.$$
Ответ
1) а) $$-1$$; б) $$1$$.
2) $$\frac12$$.
3) а) $$-0{,}6$$; б) $$-0{,}96$$; в) $$-0{,}28$$.
4) $$y=\cos x$$.
5) $$\frac{\sqrt2}{2}$$.
6) $$\frac14$$.
7) $$5\text{ ч}$$.
