Самостоятельная работа 7 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. x^8-6x^4+10 > 0 для любого действительного числа x.
2. (a+1)/(a+2) < (a+5)/(a+6) для любого положительного числа a.
3. x^2-6x+1/(x^2-6x+10)?-8 для любого действительного числа x.
4. а) 20/21·22/23·24/25·...·1998/1999 < 1/10;
б) 3/4·6/7·9/10·...·78/79 < 1/3.
$$x^8-6x^4+10=(x^4-3)^2+1.$$
Так как $$\left(x^4-3\right)^2 \ge 0,$$ то
$$\left(x^4-3\right)^2+1>0.$$
Следовательно, $$x^8-6x^4+10>0$$ при любом действительном $$x$$.
$$\frac{a+1}{a+2}<\frac{a+5}{a+6}, \quad a>0.$$
Так как знаменатели положительны, перемножим крест-накрест:
$$\left(a+1\right)\left(a+6\right)<\left(a+5\right)\left(a+2\right).$$
Раскроем скобки:
$$a^2+7a+6<a^2+7a+10.$$
Получаем верное неравенство $$6<10.$$
$$x^2-6x+\frac{1}{x^2-6x+10}\ge -8.$$
Обозначим
$$y=x^2-6x+10.$$
Тогда $$y>0$$ и нужно доказать, что
$$y+\frac{1}{y}\ge 2.$$
Это верно, так как
$$y+\frac{1}{y}-2=\frac{(y-1)^2}{y}\ge 0.$$
Значит,
$$x^2-6x+10+\frac{1}{x^2-6x+10}\ge 2,$$
откуда
$$x^2-6x+\frac{1}{x^2-6x+10}\ge -8.$$
а) Рассмотрим произведение
$$A=\frac{20}{21}\cdot\frac{22}{23}\cdot\frac{24}{25}\cdot\dots\cdot\frac{1998}{1999}.$$
Составим ему «соседнее» произведение
$$B=\frac{21}{22}\cdot\frac{23}{24}\cdot\frac{25}{26}\cdot\dots\cdot\frac{1999}{2000}.$$
Тогда
$$AB=\frac{20}{2000}=\frac{1}{100}.$$
Так как $$A<B,$$ то $$A^2<AB,$$ значит
$$A^2<\frac{1}{100}, \quad A<\frac{1}{10}.$$
Следовательно,
$$\frac{20}{21}\cdot\frac{22}{23}\cdot\frac{24}{25}\cdot\dots\cdot\frac{1998}{1999}<\frac{1}{10}.$$
б) Пусть
$$A=\frac{3}{4}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{9}{10}\cdot\dots\cdot\frac{78}{79}.$$
Рассмотрим также
$$B=\frac{5}{6}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{11}{12}\cdot\dots\cdot\frac{80}{81},$$
$$C=\frac{4}{5}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{10}{11}\cdot\dots\cdot\frac{79}{80}.$$
Тогда
$$ABC=\frac{3}{81}=\frac{1}{27}.$$
Кроме того, $$A<C<B,$$ значит $$A^3<ABC.$$
Следовательно,
$$A^3<\frac{1}{27}, \quad A<\frac{1}{3}.$$
Итак,
$$\frac{3}{4}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{9}{10}\cdot\dots\cdot\frac{78}{79}<\frac{1}{3}.$$
Ответ
1) $$x^8-6x^4+10>0$$ при любом $$x\in\mathbb{R}$$; 2) $$\dfrac{a+1}{a+2}<\dfrac{a+5}{a+6}$$ при любом $$a>0$$; 3) $$x^2-6x+\dfrac{1}{x^2-6x+10}\ge -8$$ при любом $$x\in\mathbb{R}$$; 4) а) $$\dfrac{20}{21}\cdot\dfrac{22}{23}\cdot\dfrac{24}{25}\cdot\dots\cdot\dfrac{1998}{1999}<\dfrac{1}{10}$$; б) $$\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{9}{10}\cdot\dots\cdot\dfrac{78}{79}<\dfrac{1}{3}$$.
