Контрольная работа 5 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Вычислите:
а) $$\sqrt{3}\sin(60^\circ)+\cos(60^\circ)\sin(30^\circ)-\tg(45^\circ)\ctg(135^\circ)+\ctg(90^\circ)$$;
б) $$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)-\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{3}\tg\left(\frac{\pi}{3}\right)$$. - Упростите выражение:
а) $$\frac{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha},\quad \alpha\ne\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$;
б) $$\sin(2\alpha+\pi)+\cos(\alpha+\pi)+\sin(-\alpha)+\cos(-\alpha)$$. - Вычислите:
а) $$(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-2\sin\alpha\cos\alpha$$;
б) $$\tg\alpha+\ctg\alpha$$, если $$\sin\alpha\cos\alpha=0{,}4$$. - Найдите все такие углы $$\alpha$$, для каждого из которых выполняется равенство:
а) $$\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
б) $$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
в) $$\tg\alpha=\sqrt{3}$$;
г) $$\ctg\alpha=-1$$. - Вычислите:
а) $$\tg^2\alpha+\ctg^2\alpha$$, если $$\tg\alpha+\ctg\alpha=3$$;
б) $$\frac{3\sin\alpha-4\cos\alpha}{5\sin\alpha+6\cos\alpha}$$, если $$\tg\alpha=-3$$. - Вычислите: $$\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}-\arccos(0)+\frac{\arctg\sqrt{3}}{\operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}$$.
- В прошлом году в городской думе заседали $$50$$ депутатов от двух партий и $$5$$ независимых депутатов. После выборов в этом году общее число депутатов не изменилось, но число депутатов первой партии увеличилось на $$10\%$$, число депутатов второй партии уменьшилось на $$10\%$$, число независимых депутатов увеличилось на $$1$$. Сколько депутатов от каждой из этих партий избрано в городскую думу в этом году?
1. Вычислим:
а)
$$\sqrt{3}\sin 60^\circ+\cos 60^\circ\sin 30^\circ-\tg 45^\circ\ctg 135^\circ+\ctg 90^\circ$$
$$=\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac12\cdot \frac12-1\cdot(-1)+0$$
$$=\frac32+\frac14+1=\frac{11}{4}.$$
б)
$$\cos \frac{\pi}{6}-\sqrt{2}\sin \frac{\pi}{4}+\sqrt{3}\tg \frac{\pi}{3}$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{2}-1+3=\frac{\sqrt{3}+4}{2}.$$
2. Упростим выражение:
а)
$$\frac{(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha)}{\sin \alpha}=\frac{1-\cos^2 \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha}=\sin \alpha.$$
б)
$$A=\sin(2\pi+\alpha)+\cos(\pi+\alpha)+\sin(-\alpha)+\cos(-\alpha).$$
$$A=\sin \alpha-\cos \alpha-\sin \alpha+\cos \alpha=0.$$
3. Вычислим:
а)
$$\left(\sin \alpha+\cos \alpha\right)^2-2\sin \alpha \cos \alpha$$
$$=\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1.$$
б)
$$\tg \alpha+\ctg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}.$$
Так как $$\sin \alpha \cos \alpha=0{,}4,$$ то
$$\tg \alpha+\ctg \alpha=\frac{1}{0{,}4}=2{,}5.$$
4. Найдём все углы:
а) $$\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \alpha=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z};$$
б) $$\cos \alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \alpha=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z};$$
в) $$\tg \alpha=\sqrt{3}, \quad \alpha=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z};$$
г) $$\ctg \alpha=-1, \quad \alpha=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
5. Вычислим:
а)
$$A=\tg^2 \alpha+\ctg^2 \alpha,\quad \tg \alpha+\ctg \alpha=3.$$
$$A=(\tg \alpha+\ctg \alpha)^2-2\tg \alpha \ctg \alpha=3^2-2=7.$$
б)
$$B=\frac{3\sin \alpha-4\cos \alpha}{5\sin \alpha+6\cos \alpha}, \quad \tg \alpha=-3.$$
Разделим числитель и знаменатель на $$\cos \alpha$$:
$$B=\frac{3\tg \alpha-4}{5\tg \alpha+6}=\frac{3\cdot(-3)-4}{5\cdot(-3)+6}=\frac{-13}{-9}=\frac{13}{9}.$$
6. Вычислим:
$$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}-\arccos 0+\frac{\arctg \sqrt{3}}{\arcctg \frac{\sqrt{3}}{3}}$$
$$=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi/3}{\pi/3}=-\frac{\pi}{4}+1=\frac{4-\pi}{4}.$$
7. Пусть $$x$$ депутатов было от первой партии в прошлом году. Тогда от второй партии было $$50-5-x=45-x$$ депутатов.
По условию в этом году всего стало 50 депутатов:
$$1{,}1x+0{,}9(45-x)+6=50.$$
$$1{,}1x+40{,}5-0{,}9x+6=50$$
$$0{,}2x=3{,}5$$
$$x=17{,}5.$$
Но число депутатов должно быть целым, значит в условии имеется в виду, что в прошлом году было 50 депутатов от двух партий и 5 независимых, то есть от партий вместе было 50, а независимых 5. Тогда:
$$x+(50-x)+5=55.$$
В этом году:
$$1{,}1x+0{,}9(50-x)+6=55.$$
$$1{,}1x+45-0{,}9x+6=55$$
$$0{,}2x=4$$
$$x=20.$$
Значит, в этом году:
$$A=20\cdot 1{,}1=22,$$
$$B=50-20-6=24,$$
а независимых депутатов стало $$6$$.
Ответ
1) а) $$\frac{11}{4}$$; б) $$\frac{\sqrt{3}+4}{2}$$. 2) а) $$\sin \alpha$$; б) $$0$$. 3) а) $$1$$; б) $$2{,}5$$. 4) а) $$\alpha=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n$$; б) $$\alpha=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n$$; в) $$\alpha=\frac{\pi}{3}+\pi n$$; г) $$\alpha=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$, $$n\in \mathbb{Z}$$. 5) а) $$7$$; б) $$\frac{13}{9}$$. 6) $$\frac{4-\pi}{4}$$. 7) $$22$$ депутата от первой партии, $$24$$ от второй партии, $$6$$ независимых.
