Самостоятельная работа 6 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) x^4-10x^2+9=0;
б) (x+97)^2+34(x+97)+120=0;
в) (x^2-4x)^2+15(x^2-4x)+36=0;
г) x(x+2)(x+3)(x+5)=72.
2. а) x^2+6x-2-35/(x^2+6x)=0;
б) (x^2-x+1)/(x^2+3x+5)+(x^2+3x+5)/(x^2-x+1)=2.
а) Пусть $$y=x^2$$. Тогда
$$y^2-10y+9=0.$$
$$D=10^2-4\cdot 9=64,$$
$$y_1=\frac{10-8}{2}=1,\quad y_2=\frac{10+8}{2}=9.$$
Тогда
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,$$
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3.$$
Ответ: $$-3;\,-1;\,1;\,3.$$
б) Пусть $$y=x+97$$. Тогда
$$y^2+34y+120=0.$$
$$D=34^2-4\cdot 120=676,$$
$$y_1=\frac{-34-26}{2}=-30,\quad y_2=\frac{-34+26}{2}=-4.$$
Следовательно,
$$x=-30-97=-127,\quad x=-4-97=-101.$$
Ответ: $$-127;\,-101.$$
в) Пусть $$y=x^2-4x$$. Тогда
$$y^2+15y+36=0.$$
$$D=15^2-4\cdot 36=81,$$
$$y_1=\frac{-15-9}{2}=-12,\quad y_2=\frac{-15+9}{2}=-3.$$
1) Если $$x^2-4x=-12,$$ то
$$x^2-4x+12=0,$$
$$D=16-48=-32,$$
действительных корней нет.
2) Если $$x^2-4x=-3,$$ то
$$x^2-4x+3=0,$$
$$D=16-12=4,$$
$$x_1=\frac{4-2}{2}=1,\quad x_2=\frac{4+2}{2}=3.$$
Ответ: $$1;\,3.$$
г) Преобразуем:
$$x(x+2)(x+3)(x+5)=72,$$
$$\bigl(x^2+5x\bigr)\bigl(x^2+5x+6\bigr)=72.$$
Пусть $$y=x^2+5x$$. Тогда
$$y(y+6)=72,$$
$$y^2+6y-72=0.$$
$$D=6^2+4\cdot 72=324,$$
$$y_1=\frac{-6-18}{2}=-12,\quad y_2=\frac{-6+18}{2}=6.$$
1) Если $$x^2+5x=-12,$$ то
$$x^2+5x+12=0,$$
$$D=25-48=-23,$$
действительных корней нет.
2) Если $$x^2+5x=6,$$ то
$$x^2+5x-6=0,$$
$$D=25+24=49,$$
$$x_1=\frac{-5-7}{2}=-6,\quad x_2=\frac{-5+7}{2}=1.$$
Ответ: $$-6;\,1.$$
а) Пусть $$y=x^2+6x.$$ Тогда
$$y-2-\frac{35}{y}=0,$$
$$y^2-2y-35=0.$$
$$D=2^2+4\cdot 35=144,$$
$$y_1=\frac{2-12}{2}=-5,\quad y_2=\frac{2+12}{2}=7.$$
1) Если $$x^2+6x=-5,$$ то
$$x^2+6x+5=0,$$
$$D=36-20=16,$$
$$x_1=\frac{-6-4}{2}=-5,\quad x_2=\frac{-6+4}{2}=-1.$$
2) Если $$x^2+6x=7,$$ то
$$x^2+6x-7=0,$$
$$D=36+28=64,$$
$$x_1=\frac{-6-8}{2}=-7,\quad x_2=\frac{-6+8}{2}=1.$$
Ответ: $$-7;\,-5;\,-1;\,1.$$
б) Обозначим
$$y=\frac{x^2-x+1}{x^2+3x+5}.$$
Тогда
$$y+\frac{1}{y}=2,\quad y\ne 0.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-2y+1=0,$$
$$\left(y-1\right)^2=0,$$
$$y=1.$$
Тогда
$$\frac{x^2-x+1}{x^2+3x+5}=1,$$
$$x^2-x+1=x^2+3x+5,$$
$$-4x=4,$$
$$x=-1.$$
Ответ: $$-1.$$
Ответ
1) а) $$-3;\,-1;\,1;\,3$$; б) $$-127;\,-101$$; в) $$1;\,3$$; г) $$-6;\,1$$.
2) а) $$-7;\,-5;\,-1;\,1$$; б) $$-1$$.
