Контрольная работа 4 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Вычислите:
а) $$\log(2,32)+\ln(e)-\lg(100)$$;
б) $$\left(\log(2,\sqrt{5}-1)+\log(2,\sqrt{5}+1)\right)\frac{\log(3,49)}{\log(3,7)}$$. - Решите уравнение:
а) $$\left(\frac{1}{9}\right)^x+8\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^x-9=0$$;
б) $$\log(3,x)+4\log(9,x)=9$$. - Решите неравенство:
а) $$2^{x+3}-3\cdot2^{x+1}+2^x<12$$;
б) $$\left(\log(0,5,x)\right)^2-3\log(0,5,x)-4?0$$. - Докажите числовое равенство $$\left(\sqrt{3}\right)^{\log(3,(\sqrt{5}-2)^2)}+\left(\sqrt{2}\right)^{\log(2,(\sqrt{5}-3)^2)}=1$$.
- Вычислите значение числового выражения $$\frac{5^{\log(8,27)}}{3^{\log(2,5)}}$$.
- Решите уравнение $$2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{x-1}-4\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^x+1=0$$.
- Проехав за 1 ч три четверти расстояния между городами А и В, водитель увеличил скорость на 20 км/ч, поэтому остаток пути он проехал за 15 мин. Определите расстояние между городами А и В.
а) $$\log_2 32+\ln e-\lg 100=\log_2 2^5+1-2=5+1-2=4.$$
б) $$\frac{\bigl(\log_2(\sqrt5-1)+\log_2(\sqrt5+1)\bigr)\log_3 49}{\log_3 7}$$
$$=\log_2\bigl((\sqrt5-1)(\sqrt5+1)\bigr)\cdot \frac{\log_3 49}{\log_3 7}$$
$$=\log_2 4\cdot \log_7 49=2\cdot 2=4.$$
а) $$\left(\frac19\right)^x+8\left(\frac13\right)^x-9=0.$$
Положим $$y=\left(\frac13\right)^x,$$ тогда $$\left(\frac19\right)^x=y^2.$$ Получаем:
$$y^2+8y-9=0.$$
$$D=8^2+4\cdot 9=64+36=100,$$
$$y_1=\frac{-8-10}{2}=-9,\qquad y_2=\frac{-8+10}{2}=1.$$
Так как $$y>0,$$ подходит только $$y=1.$$ Тогда
$$\left(\frac13\right)^x=1 \Rightarrow x=0.$$
б) $$\log_3 x+4\log_9 x=9.$$
Так как $$\log_9 x=\frac12\log_3 x,$$ то
$$\log_3 x+4\cdot \frac12\log_3 x=9,$$
$$3\log_3 x=9,$$
$$\log_3 x=3,$$
$$x=3^3=27.$$
а) $$2^{x+3}-3\cdot 2^{x+1}+2^x<12.$$
Вынесем $$2^x$$:
$$2^x(2^3-3\cdot 2+1)<12,$$
$$2^x(8-6+1)<12,$$
$$3\cdot 2^x<12,$$
$$2^x<4=2^2,$$
$$x<2.$$
б) $$\bigl(\log_{0.5}x\bigr)^2-3\log_{0.5}x-4\le 0.$$
Положим $$y=\log_{0.5}x,$$ тогда
$$y^2-3y-4\le 0,$$
$$(y+1)(y-4)\le 0,$$
откуда
$$-1\le y\le 4.$$
Возвращаясь к $$x$$, получаем:
$$-1\le \log_{0.5}x\le 4.$$
Так как основание $$0.5<1,$$ знак неравенства при переходе к $$x$$ меняется:
$$x\le \left(\frac12\right)^{-1}=2,$$
$$x\ge \left(\frac12\right)^4=\frac1{16}.$$
Итак, $$x\in \left[\frac1{16};\,2\right].$$
$$\left(\sqrt3\right)^{\log_3(\sqrt5-2)^2}+\left(\sqrt2\right)^{\log_2(\sqrt5-3)^2}.$$
Преобразуем основания:
$$\left(3^{1/2}\right)^{2\log_3|\sqrt5-2|}+\left(2^{1/2}\right)^{2\log_2|\sqrt5-3|}$$
$$=3^{\log_3|\sqrt5-2|}+2^{\log_2|3-\sqrt5|}$$
$$=|\sqrt5-2|+|3-\sqrt5|.$$
Так как $$\sqrt5>2$$ и $$\sqrt5<3,$$ то
$$|\sqrt5-2|=\sqrt5-2,\qquad |3-\sqrt5|=3-\sqrt5.$$
Следовательно,
$$\sqrt5-2+3-\sqrt5=1.$$
$$5^{\log_8 27}:3^{\log_2 5}.$$
Так как $$\log_8 27=\log_{2^3}3^3=\log_2 3,$$ то
$$5^{\log_8 27}=5^{\log_2 3}.$$
Кроме того,
$$5^{\log_2 3}=3^{\log_2 5}.$$
Тогда
$$\frac{5^{\log_8 27}}{3^{\log_2 5}}=1.$$
$$2\left(\frac23\right)^{x-1}-4\left(\frac32\right)^x+1=0.$$
Положим $$y=\left(\frac23\right)^x,$$ тогда
$$\left(\frac23\right)^{x-1}=\frac32\,y,\qquad \left(\frac32\right)^x=\frac1y.$$
Получаем:
$$2\cdot \frac32\,y-4\cdot \frac1y+1=0,$$
$$3y-\frac4y+1=0,$$
$$3y^2+y-4=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$y_1=\frac{-1-7}{6}=-\frac43,\qquad y_2=\frac{-1+7}{6}=1.$$
Так как $$y>0,$$ подходит только $$y=1.$$ Тогда
$$\left(\frac23\right)^x=1 \Rightarrow x=0.$$
Пусть $$x$$ км/ч — скорость до увеличения, а $$y$$ км — расстояние между городами.
Тогда за 1 час проехали $$\frac34y,$$ значит
$$x=\frac34y.$$
Оставшиеся $$\frac14y$$ проехали за $$15$$ мин $$=\frac14$$ ч со скоростью $$x+20,$$ поэтому
$$\frac{\frac14y}{x+20}=\frac14.$$
Отсюда
$$\frac14y=x+20.$$
Подставим $$x=\frac34y$$:
$$\frac14y=\frac34y+20,$$
$$-\frac12y=20,$$
$$y=80.$$
Ответ
1) а) $$4$$; б) $$4$$. 2) а) $$0$$; б) $$27$$. 3) а) $$(-\infty;2)$$; б) $$\left[\frac1{16};2\right]$$. 4) $$1$$. 5) $$1$$. 6) $$0$$. 7) $$80\text{ км}$$.
