Контрольная работа 3 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Найдите значение выражения $$\left(a^{1/2}\cdot a^{1/3}\right)^6$$ при $$a=\left(\frac{1}{3}\right)^{2/5}$$.
- Вычислите $$\frac{3^{1/2}\cdot 9^{3/4}}{2^{2/3}\cdot 4^{2/3}}$$.
- Постройте график функции и перечислите свойства этой функции: а) $$y=2^x$$; б) $$y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$$.
- Упростите выражение $$\left(\frac{2}{x^{1/4}-y^{1/4}}+\frac{2}{x^{1/4}+y^{1/4}}\right)\cdot\frac{x^{-1/2}-y^{-1/2}}{6x^{-1/4}y^{-1/2}}$$.
- Упростите выражение $$\left(\frac{\left(x^{1/3}+x^{-1/3}\right)^2-2}{\left(x^{1/3}-x^{-1/3}\right)^2+2}-x\right)^{3/4}$$ и найдите его значение при $$x=0{,}9919$$.
- Вычислите предел последовательности: а) $$\lim_{n\to+\infty}\frac{5n^3-n^2-4}{3n^3+11n^2+1}$$; б) $$\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2+4}{n^3+n^2+1}$$; в) $$\lim_{n\to+\infty}\left((n+1)^{1/3}-n^{1/3}\right)$$; г) $$\lim_{n\to+\infty}\left(4+5n+4n^2-3n^3\right)$$.
- Велосипедист и пешеход отправились одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились через некоторое время. Если бы они отправились одновременно из тех же пунктов в одном направлении, то, для того чтобы догнать пешехода, велосипедисту потребовалось бы в 5 раз больше времени, чем они потратили до встречи при движении навстречу друг другу. Во сколько раз скорость велосипедиста больше скорости пешехода?
$$\left(a^{\frac12}\cdot a^{\frac13}\right)^6=a^{\left(\frac12+\frac13\right)\cdot 6}=a^{5}.$$
При $$a=\left(\frac13\right)^{\frac25}$$ получаем
$$a^5=\left(\left(\frac13\right)^{\frac25}\right)^5=\left(\frac13\right)^2=\frac19.$$
$$\frac{3^{\frac12}\cdot 9^{\frac34}}{2^{\frac23}\cdot 4^{\frac23}}=\frac{3^{\frac12}\cdot \left(3^2\right)^{\frac34}}{2^{\frac23}\cdot \left(2^2\right)^{\frac23}}=\frac{3^{\frac12}\cdot 3^{\frac32}}{2^{\frac23}\cdot 2^{\frac43}}=\frac{3^2}{2^2}=\frac94.$$
а) $$y=2^x$$ — показательная функция при $$a>1$$.
Свойства: $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(0;+\infty),\ y>0,$$ $$y(0)=1,$$ функция возрастает.
б) $$y=\left(\frac13\right)^x$$ — показательная функция при $$0<a<1$$.
Свойства: $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(0;+\infty),\ y>0,$$ $$y(0)=1,$$ функция убывает.
$$A=\left(\frac{2}{x^{\frac14}-y^{\frac14}}+\frac{2}{x^{\frac14}+y^{\frac14}}\right)\cdot \frac{x^{-\frac12}-y^{-\frac12}}{6x^{-\frac14}y^{-\frac12}}.$$
Сложим дроби в первой скобке:
$$\frac{2}{x^{\frac14}-y^{\frac14}}+\frac{2}{x^{\frac14}+y^{\frac14}}=\frac{4x^{\frac14}}{x^{\frac12}-y^{\frac12}}.$$
Тогда
$$A=\frac{4x^{\frac14}}{x^{\frac12}-y^{\frac12}}\cdot \frac{x^{-\frac12}-y^{-\frac12}}{6x^{-\frac14}y^{-\frac12}}.$$
Так как
$$x^{-\frac12}-y^{-\frac12}=\frac{y^{\frac12}-x^{\frac12}}{x^{\frac12}y^{\frac12}}=-\frac{x^{\frac12}-y^{\frac12}}{x^{\frac12}y^{\frac12}},$$
то
$$A=\frac{4x^{\frac14}}{x^{\frac12}-y^{\frac12}}\cdot \frac{-\left(x^{\frac12}-y^{\frac12}\right)}{x^{\frac12}y^{\frac12}}\cdot \frac{1}{6x^{-\frac14}y^{-\frac12}}=-\frac23.$$
Преобразуем выражение:
$$\left(\frac{\left(x^{\frac13}+x^{-\frac13}\right)^2-2}{\left(x^{\frac13}-x^{-\frac13}\right)^2+2}-x\right)^{\frac34}.$$
Раскроем скобки:
$$\left(x^{\frac23}+2+x^{-\frac23}-2\right)\Big/\left(x^{\frac23}-2+x^{-\frac23}+2\right)=\frac{x^{\frac23}+x^{-\frac23}}{x^{\frac23}+x^{-\frac23}}=1.$$
Значит, всё выражение равно
$$\left(1-x\right)^{\frac34}.$$
При $$x=0{,}9919$$:
$$\left(1-0{,}9919\right)^{\frac34}=0{,}0081^{\frac34}=\left(0{,}3^4\right)^{\frac34}=0{,}3^3=0{,}027.$$
а)
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{5n^3-n^2-4}{3n^3+11n^2+1}=\lim_{n\to+\infty}\frac{5-\frac1n-\frac4{n^3}}{3+\frac{11}{n}+\frac1{n^3}}=\frac53.$$
б)
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2+4}{n^3+n^2+1}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac3n+\frac4{n^3}}{1+\frac1n+\frac1{n^3}}=0.$$
в)
$$\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}\right)=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\left(\sqrt[3]{n+1}\right)^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n}+\left(\sqrt[3]{n}\right)^2}=0.$$
г)
$$\lim_{n\to+\infty}\left(4+5n+4n^2-3n^3\right)=-\infty.$$
Пусть $$x$$ — скорость велосипедиста, $$y$$ — скорость пешехода, $$t$$ — время до встречи при движении навстречу.
Тогда расстояние между пунктами:
$$S=(x+y)t.$$
При движении в одном направлении время догоняния равно $$5t$$, значит
$$S=(x-y)\cdot 5t.$$
Следовательно,
$$(x+y)t=5t(x-y),$$
$$x+y=5x-5y,$$
$$4x=6y,$$
$$\frac{x}{y}=\frac32.$$
Ответ
1) $$\frac19$$; 2) $$\frac94$$; 3) а) $$y=2^x$$ — возрастает, $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(0;+\infty)$$; б) $$y=\left(\frac13\right)^x$$ — убывает, $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(0;+\infty)$$; 4) $$-\frac23$$; 5) $$0{,}027$$; 6) а) $$\frac53$$, б) $$0$$, в) $$0$$, г) $$-\infty$$; 7) в $$1{,}5$$ раза.
