Самостоятельная работа 45 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. {2x-3y=5, 3^x+2^((x+2)/2-y)=90}.
2. {3x/(2x+y)+6x+3y=9, 12·13^(2x+y)+13=13^(4x+2y)}.
3. {3cos(x)+sin(y)=0,5, 2cos(x)-sin(y)=2}.
4. {5/v(x-3)+2/v(y+1)=6, 3/v(x-3)-2/v(y+1)=2}.
Из первого уравнения:
$$2x-3y=5,$$
$$y=\frac{2x-5}{3}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$3^x+3^{\frac{x+2}{2}-\frac{2x-5}{3}}=90.$$
Преобразуем показатель степени:
$$\frac{x+2}{2}-\frac{2x-5}{3}=\frac{3x+6-4x+10}{6}=\frac{16-x}{6}.$$
Тогда
$$3^x+3^{\frac{16-x}{6}}=90.$$
Проверим целое значение $$x=4$$:
$$3^4+3^{\frac{16-4}{6}}=81+3^2=81+9=90.$$
Значит, $$x=4$$, тогда
$$y=\frac{2\cdot 4-5}{3}=1.$$
Обозначим $$t=2x+y.$$ Тогда система принимает вид:
$$\frac{3x}{t}+6x+3y=9,$$
$$12\cdot 13^t+13=13^{2t}.$$
Положим $$z=13^t$$. Тогда
$$12z+13=z^2,$$
$$z^2-12z-13=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=12^2+4\cdot 13=144+52=196,$$
$$z_{1,2}=\frac{12\pm 14}{2}.$$
Получаем:
$$z_1=-1,\quad z_2=13.$$
Так как $$z=13^t>0,$$ то $$z=13.$$ Значит,
$$13^t=13,\quad t=1.$$
Тогда
$$2x+y=1.$$
Из первого уравнения:
$$\frac{3x}{1}+6x+3y=9,$$
$$9x+3y=9,$$
$$3x+y=3.$$
Вычтем из этого уравнения $$2x+y=1$$:
$$x=2,$$
$$y=1-2\cdot 2=-3.$$
Сложим уравнения системы:
$$3\cos x+\sin y+2\cos x-\sin y=0{,}5+2,$$
$$5\cos x=\frac{5}{2},$$
$$\cos x=\frac{1}{2}.$$
Отсюда
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$3\cdot \frac{1}{2}+\sin y=\frac{1}{2},$$
$$\sin y=-1.$$
Значит,
$$y=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
Сложим уравнения системы:
$$\frac{5}{\sqrt{x-3}}+\frac{2}{\sqrt{y+1}}+\frac{3}{\sqrt{x-3}}-\frac{2}{\sqrt{y+1}}=6+2,$$
$$\frac{8}{\sqrt{x-3}}=8,$$
$$\sqrt{x-3}=1,$$
$$x-3=1,\quad x=4.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{5}{1}+\frac{2}{\sqrt{y+1}}=6,$$
$$\frac{2}{\sqrt{y+1}}=1,$$
$$\sqrt{y+1}=2,$$
$$y+1=4,\quad y=3.$$
Ответ
1) $$\left(4;1\right)$$
2) $$\left(2;-3\right)$$
3) $$\left(\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{2}+2\pi k\right),\ n,k\in \mathbb{Z}$$
4) $$\left(4;3\right)$$
