Самостоятельная работа 44 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. sin(x)-v3cos(x)=-1.
2. sin(x)+4sin(x)cos(x)+cos(x)=1.
Решите неравенство (3—4).
3. 2cos^2(x)+2v3sin(x)cos(x) > 1.
4. 3sin(x)-3cos(x)+2sin(x)cos(x) > 3.
5. Определите все a, при каждом из которых уравнение
5sin(x)-12cos(x)=a+1 имеет хотя бы одно решение.

1. $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=-1$$

   Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

   $$2\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=-1$$

   $$\sin x\cos\frac{\pi}{3}-\cos x\sin\frac{\pi}{3}=-\frac12$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12$$

   $$x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$$

   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$

2. $$\sin x+4\sin x\cos x+\cos x=1$$

   Обозначим $$y=\sin x+\cos x$$. Тогда

   $$y^2=1+2\sin x\cos x,\qquad 4\sin x\cos x=2(y^2-1)$$

   Подставим в уравнение:

   $$y+2(y^2-1)=1$$

   $$2y^2+y-3=0$$

   $$D=1+24=25$$

   $$y_1=\frac{-1-5}{4}=-\frac32,\qquad y_2=\frac{-1+5}{4}=1$$

   Значение $$y=-\frac32$$ невозможно, так как $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2]$$.

   Остаётся:

   $$\sin x+\cos x=1$$

   $$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$

   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

3. $$2\cos^2 x+2\sqrt3\sin x\cos x>1$$

   Преобразуем:

   $$2\cos^2 x-1+\sqrt3\sin 2x>0$$

   $$\cos 2x+\sqrt3\sin 2x>0$$

   $$2\left(\frac12\cos 2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x\right)>0$$

   $$\cos\frac{\pi}{3}\cos 2x+\sin\frac{\pi}{3}\sin 2x>0$$

   $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)>0$$

   Отсюда

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<2x-\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

   $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{5\pi}{12}+\pi n$$

4. $$3\sin x-3\cos x+2\sin x\cos x>3$$

   Обозначим $$y=\sin x-\cos x$$. Тогда

   $$y^2=1-2\sin x\cos x,\qquad 2\sin x\cos x=1-y^2$$

   Получаем:

   $$3y+1-y^2>3$$

   $$y^2-3y+2<0$$

   $$ (y-1)(y-2)<0 $$

   $$1<y<2$$

   Но $$y=\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$, поэтому

   $$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)>1$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)>\frac{\sqrt2}{2}$$

   Следовательно,

   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x-\frac{\pi}{4}<\pi+2\pi n$$

   $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n$$

5. $$5\sin x-12\cos x=a+1$$

   Чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, правая часть должна лежать в промежутке значений левой части.

   Амплитуда:

   $$A=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=13$$

   Значит,

   $$-13\le a+1\le 13$$

   $$-14\le a\le 12$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{3\pi}{2}+2\pi n$$

2) $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n$$

3) $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{5\pi}{12}+\pi n$$

4) $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n$$

5) $$a\in[-14;12]$$