Контрольная работа 2 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Верно ли равенство:
а) $$\left(2^4\right)^{\frac14}=2$$;
б) $$\left((-3)^4\right)^{\frac14}=-3$$;
в) $$\left((-4)^4\right)^{\frac14}=4$$;
г) $$\left(5^4\right)^{\frac14}=-5$$? - Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) $$\frac{3}{\sqrt[3]{5}}$$;
б) $$\frac{6}{\sqrt[3]{5}+1}$$;
в) $$\frac{3}{\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}+1}$$. - Вычислите:
а) $$\left(312^2+2\cdot312\cdot313+313^2\right)^{\frac14}$$;
б) $$\left(1987^3-3\cdot1987^2\cdot987+3\cdot1987\cdot987^2-987^3\right)^{\frac13}$$. - Упростите выражение $$\left(a^{\frac14}-b^{\frac14}\right)\left(a^{\frac14}+b^{\frac14}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)$$.
- Вычислите $$27^{\frac13}-81^{\frac14}+\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-25^{\frac14}-9^{\frac14}$$.
- Найдите значение выражения $$\left(x\left(x\sqrt{x}\right)^{\frac13}\right)^{\frac14}$$ при $$x=\left(4^4\right)^{\frac13}$$.
- Велосипедист и пешеход отправились одновременно из пункта А в пункт В. Скорость велосипедиста была в 2 раза больше скорости пешехода, но в пути он сделал остановку для устранения поломки велосипеда и поэтому в пункт В прибыл лишь на 6 мин раньше пешехода, который на весь путь затратил 40 мин. Сколько минут велосипедист устранял поломку велосипеда?
Проверим равенства:
а) $$\sqrt[4]{2^4}=2$$ — верно;
б) $$\sqrt[4]{(-3)^4}=\sqrt[4]{3^4}=3$$, а не $$-3$$ — неверно;
в) $$\sqrt[4]{(-4)^4}=\sqrt[4]{4^4}=4$$ — верно;
г) $$\sqrt[4]{5^4}=5$$, а не $$-5$$ — неверно.Избавимся от иррациональности в знаменателе:
а) $$\frac{3}{\sqrt[3]{5}}=\frac{3\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{125}}=\frac{3\sqrt[3]{25}}{5};$$
б) $$\frac{6}{\sqrt[3]{5}+1}=\frac{6(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1)}{(\sqrt[3]{5}+1)(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1)}=\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1;$$
в) $$\frac{3}{\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}+1}=\frac{3(\sqrt[3]{4}-1)}{(\sqrt[3]{4}-1)(\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}+1)}=\sqrt[3]{4}-1.$$
Вычислим:
а)
$$\sqrt[4]{312^2+2\cdot312\cdot313+313^2} =\sqrt[4]{(312+313)^2} =\sqrt[4]{625^2} =\sqrt{625}=25;$$б)
$$\sqrt[3]{1987^3-3\cdot1987^2\cdot987+3\cdot1987\cdot987^2-987^3} =\sqrt[3]{(1987-987)^3} =\sqrt[3]{1000^3}=1000.$$Упростим выражение:
$$(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$$=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b.$$Вычислим:
$$\sqrt[3]{27}-\sqrt[4]{81}+\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\sqrt[4]{25}-\sqrt[4]{9}$$
$$=3-3+\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}-\sqrt{5}-\sqrt{3} =\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}=0.$$Найдём значение выражения:
$$\sqrt[4]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}} =\sqrt[24]{x^6\cdot x^3} =\sqrt[24]{x^9},$$
где
$$x=\sqrt[3]{4^4}.$$Тогда
$$\sqrt[24]{x^9}=\sqrt[24]{\left(\sqrt[3]{4^4}\right)^9} =\sqrt[24]{4^{12}}=\sqrt{4}=2.$$Пусть велосипедист устранял поломку $$x$$ мин. Тогда время его движения в пути равно $$20$$ мин, а весь путь он затратил $$20+x$$ мин. Пешеход затратил $$40$$ мин, а велосипедист прибыл на $$5$$ мин раньше, значит:
$$20+x=40-5=35,$$
откуда
$$x=35-20=15.$$
Ответ
1) а) да; б) нет; в) да; г) нет.
2) а) $$\frac{3\sqrt[3]{25}}{5}$$; б) $$\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1$$; в) $$\sqrt[3]{4}-1$$.
3) а) $$25$$; б) $$1000$$.
4) $$a-b$$.
5) $$0$$.
6) $$2$$.
7) $$15$$ мин.
