Самостоятельная работа 41 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. 2cos^2(x)-5sin(x)+1=0. 2. sin(4x)cos(2x)=sin(2x)cos(4x).
3. cos(2x)-sin(x)=0. 4. cos(0,5?-2x)+sin(x)=0.
5. cos^4(x)-cos(2x)=1.

1. $$2\cos^2 x-5\sin x+1=0$$
   $$2(1-\sin^2 x)-5\sin x+1=0$$
   $$2-2\sin^2 x-5\sin x+1=0$$
   $$2\sin^2 x+5\sin x-3=0$$
   Обозначим $$y=\sin x$$. Тогда
   $$2y^2+5y-3=0.$$
   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49.$$
   $$y_1=\frac{-5-7}{4}=-3,\qquad y_2=\frac{-5+7}{4}=\frac12.$$
   Так как $$|\sin x|\le 1,$$ подходит только $$\sin x=\frac12.$$
   Тогда
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin 4x\cos 2x=\sin 2x\cos 4x$$
   Перенесём всё в одну сторону и применим формулу произведения в сумму:
   $$\sin 4x\cos 2x-\sin 2x\cos 4x=0$$
   $$\sin(4x-2x)=0$$
   $$\sin 2x=0.$$
   Тогда
   $$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   $$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos 2x-\sin x=0$$
   $$1-2\sin^2 x-\sin x=0$$
   Обозначим $$y=\sin x$$. Получаем:
   $$2y^2+y-1=0.$$
   $$D=1^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9.$$
   $$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12.$$
   1) Если $$\sin x=-1,$$ то
   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
   2) Если $$\sin x=\frac12,$$ то
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

4. $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)+\sin x=0$$
   $$\sin 2x+\sin x=0$$
   $$2\sin x\cos x+\sin x=0$$
   $$\sin x(2\cos x+1)=0.$$
   Отсюда:
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0.$$
   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$
   2) $$\cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

5. $$\cos^4 x-\cos 2x=1$$
   Обозначим $$y=\cos^2 x$$. Тогда
   $$\cos 2x=2\cos^2 x-1=2y-1.$$
   Получаем:
   $$y^2-(2y-1)=1$$
   $$y^2-2y=0$$
   $$y(y-2)=0.$$
   Так как $$0\le \cos^2 x\le 1,$$ подходит только $$y=0.$$
   Значит,
   $$\cos x=0,$$
   откуда
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$
2) $$x=\frac{\pi n}{2}$$
3) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$
4) $$x=\pi n,\; x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$
5) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$