Самостоятельная работа 40 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. sin(2x-?/3)=0. 2. cos^2(x)+3cos(x)+2=0.
3. sin^2(x)+3sin(x)-4=0. 4. tg(x)+5/tg(x)-6=0.
5. ctg^3(x)+ctg^2(x)+2ctg(x)+2=0.

1. $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=0$$

   Пусть $$y=2x-\frac{\pi}{3}$$. Тогда $$\sin y=0$$, откуда

   $$y=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$2x-\frac{\pi}{3}=\pi n$$

   $$2x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$

   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}.$$

2. $$\cos^2 x+3\cos x+2=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

   $$y^2+3y+2=0$$

   $$\left(y+1\right)\left(y+2\right)=0.$$

   Отсюда $$y=-1$$ или $$y=-2$$. Но $$\cos x\in[-1;1]$$, значит подходит только

   $$\cos x=-1.$$

   Тогда

   $$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$\sin^2 x+3\sin x-4=0$$

   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

   $$y^2+3y-4=0$$

   $$\left(y+4\right)\left(y-1\right)=0.$$

   Отсюда $$y=-4$$ или $$y=1$$. Так как $$\sin x\in[-1;1]$$, подходит только

   $$\sin x=1.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\tg x+\frac{5}{\tg x}-6=0$$

   Пусть $$y=\tg x$$, тогда $$y\ne 0$$ и

   $$y+\frac{5}{y}-6=0.$$

   Умножим на $$y$$:

   $$y^2-6y+5=0$$

   $$\left(y-1\right)\left(y-5\right)=0.$$

   Значит, $$y=1$$ или $$y=5$$.

   Тогда

   $$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

   $$\tg x=5 \Rightarrow x=\arctg 5+\pi n,$$

   где $$n\in\mathbb{Z}.$$

5. $$\ctg^3 x+\ctg^2 x+2\ctg x+2=0$$

   Пусть $$y=\ctg x$$. Тогда

   $$y^3+y^2+2y+2=0$$

   $$y^2(y+1)+2(y+1)=0$$

   $$\left(y+1\right)\left(y^2+2\right)=0.$$

   Так как $$y^2+2>0$$ при любых $$y$$, то

   $$y=-1.$$

   Следовательно,

   $$\ctg x=-1 \Rightarrow \tg x=-1,$$

   откуда

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

3) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

4) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 5+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

5) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$