Самостоятельная работа 4 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
б) Найдите значение полученной дроби при x=-2.
2. а) Запишите в виде дроби выражение 1/(x(x+1))+1/((x+1)(x+2))+…+1/((x+9)(x+10)).
б) Найдите значение полученной дроби при x=-1.
3. Упростите выражение ((x^3+8)/(x^3-2x^2+4x)-(8x^3+1)/(4x^2-2x+1)):((8x^3-1)/(4x^2+2x+1)+(x^3-8)/(x^3+2x^2+4x)).
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$$ x^3+7x^2+16x+12=(x+2)(x^2+5x+6)=(x+2)(x+2)(x+3), $$
$$ x^3+5x^2+8x+4=(x+2)(x^2+3x+2)=(x+2)(x+1)(x+2). $$
Тогда
$$ \frac{x^3+7x^2+16x+12}{x^3+5x^2+8x+4} = \frac{(x+2)(x+2)(x+3)}{(x+2)(x+2)(x+1)} = \frac{x+3}{x+1}. $$
При $$x=-2$$:
$$ \frac{x+3}{x+1}=\frac{-2+3}{-2+1}=-1. $$
Преобразуем сумму к телескопическому виду:
$$ \frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{(x+9)(x+10)} $$
$$ = \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right) + \left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right) +\cdots+ \left(\frac{1}{x+9}-\frac{1}{x+10}\right). $$
После сокращения остаётся:
$$ \frac{1}{x}-\frac{1}{x+10} = \frac{10}{x(x+10)}. $$
При $$x=-1$$:
$$ \frac{10}{x(x+10)}=\frac{10}{-1\cdot 9}=-\frac{10}{9}. $$
Упростим выражение:
$$ \left(\frac{x^3+8}{x^3-2x^2+4x}-\frac{8x^3+1}{4x^2-2x+1}\right): \left(\frac{8x^3-1}{4x^2+2x+1}+\frac{x^3-8}{x^3+2x^2+4x}\right). $$
Разложим на множители:
$$ x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4), \qquad x^3-2x^2+4x=x(x^2-2x+4), $$
$$ 8x^3+1=(2x+1)(4x^2-2x+1), \qquad 8x^3-1=(2x-1)(4x^2+2x+1), $$
$$ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4), \qquad x^3+2x^2+4x=x(x^2+2x+4). $$
Тогда
$$ \frac{x^3+8}{x^3-2x^2+4x}-\frac{8x^3+1}{4x^2-2x+1} = \frac{x+2}{x}-\left(2x+1\right) = \frac{x+2-x(2x+1)}{x} = \frac{2-2x^2}{x}, $$
а
$$ \frac{8x^3-1}{4x^2+2x+1}+\frac{x^3-8}{x^3+2x^2+4x} = 2x-1+\frac{x-2}{x} = \frac{x(2x-1)+x-2}{x} = \frac{2x^2-2}{x}. $$
Следовательно,
$$ \frac{\frac{2-2x^2}{x}}{\frac{2x^2-2}{x}} = \frac{2-2x^2}{2x^2-2} = -1. $$
Ответ
1) $$\frac{x+3}{x+1}$$, при $$x=-2$$: $$-1$$;
2) $$\frac{10}{x(x+10)}$$, при $$x=-1$$: $$-\frac{10}{9}$$;
3) $$-1$$.
