Самостоятельная работа 5 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

Решите уравнение (1—3).

1. а) $$\frac{x^2-9}{x^3+2x^2+9}=0$$; б) $$\frac{2}{x-1}+\frac{x}{x-2}=1$$.
2. а) $$\frac{x}{x+1}+\frac{4x+5}{x^2+3x+2}=0$$; б) $$\frac{x^2}{x-2}-\frac{15}{x^2+x-6}+\frac{x}{x+3}=x$$.
3. $$\frac{x^2-2x}{x-6}+\frac{12}{x-5}+\frac{96}{x^2-11x+30}=x+1$$.

1. 1а)

   $$\frac{x^2-9}{x^3+2x^2+9}=0$$
   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
   $$x^2-9=0,$$
   $$x=\pm 3.$$
   Проверим знаменатель:
   $$x^3+2x^2+9=(x+3)(x^2-x+3).$$
   При $$x=-3$$ знаменатель равен нулю, значит это значение не подходит. При $$x=3$$ знаменатель не равен нулю.

   Ответ: $$3$$.

2. 1б)

   $$\frac{2}{x-1}+\frac{x}{x-2}=1,\qquad x\ne 1,\ x\ne 2$$
   Умножим на $$(x-1)(x-2)$$:
   $$2(x-2)+x(x-1)=(x-1)(x-2).$$
   Раскроем скобки:
   $$2x-4+x^2-x=x^2-3x+2.$$
   $$x-4=-3x+2,$$
   $$4x=6,$$
   $$x=\frac{3}{2}.$$

   Ответ: $$\frac{3}{2}$$.

3. 2а)

   $$\frac{x}{x+1}+\frac{4x+5}{x^2+3x+2}=0,\qquad x\ne -1,\ x\ne -2$$
   Так как
   $$x^2+3x+2=(x+1)(x+2),$$
   получаем:
   $$\frac{x(x+2)+4x+5}{(x+1)(x+2)}=0.$$
   Тогда числитель равен нулю:
   $$x(x+2)+4x+5=0,$$
   $$x^2+6x+5=0.$$
   $$(x+1)(x+5)=0.$$
   Отсюда $$x=-1$$ или $$x=-5$$. Значение $$x=-1$$ не подходит по ОДЗ, значит
   $$x=-5.$$

   Ответ: $$-5$$.

4. 2б)

   $$\frac{x^2}{x-2}-\frac{15}{x^2+x-6}+\frac{x}{x+3}=x,\qquad x\ne 2,\ x\ne -3$$
   Так как
   $$x^2+x-6=(x-2)(x+3),$$
   умножим уравнение на $$(x-2)(x+3)$$:
   $$x^2(x+3)-15+x(x-2)=x(x-2)(x+3).$$
   Раскроем скобки:
   $$x^3+3x^2-15+x^2-2x=x^3+x^2-6x.$$
   $$3x^2+4x-15=0.$$
   $$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-15)=16+180=196.$$
   $$x=\frac{-4\pm 14}{6}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-3,\qquad x_2=\frac{5}{3}.$$
   Значение $$x=-3$$ не подходит по ОДЗ, значит
   $$x=\frac{5}{3}.$$

   Ответ: $$\frac{5}{3}$$.

5. 3)

   $$\frac{x^2-2x}{x-6}+\frac{12}{x-5}+\frac{96}{x^2-11x+30}=x+1,$$
   $$x\ne 5,\ x\ne 6$$
   Так как
   $$x^2-11x+30=(x-5)(x-6),$$
   умножим уравнение на $$(x-5)(x-6)$$:
   $$(x^2-2x)(x-5)+12(x-6)+96=(x+1)(x^2-11x+30).$$
   Раскроем скобки:
   $$x^3-7x^2+10x+12x-72+96=x^3-10x^2+19x+30.$$
   $$x^3-7x^2+22x+24=x^3-10x^2+19x+30.$$
   $$3x^2+3x-6=0.$$
   $$x^2+x-2=0.$$
   $$(x+2)(x-1)=0.$$
   Отсюда
   $$x=-2$$ или $$x=1.$$
   Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

   Ответ: $$-2,\ 1$$.