Самостоятельная работа 39 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) sin(x)=1; б) cos(x)=-v2/2; в) sin(x)=1/2; г) cos(x)=v3/2.
2. а) tg(x)=-1; б) ctg(x)=v3; в) tg(x)=-v3/3.
3. а) sin(x)=1/5; б) cos(x)=-1/6; в) tg(x)=1/2; г) cos(x)=?/2.
4. sin(x)+2sin(x)cos(x)-4cos(x)-2=0.
Используем стандартные значения тригонометрических функций:
$$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;$$
$$\cos x=-\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n;$$
$$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n;$$
$$\cos x=\frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n.$$$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n;$$
$$\ctg x=\sqrt3 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\pi n;$$
$$\tg x=-\frac{\sqrt3}{3} \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+\pi n.$$$$\sin x=\frac15 \Rightarrow x=(-1)^n\arcsin\frac15+\pi n;$$
$$\cos x=-\frac16 \Rightarrow x=\pm\arccos\!\left(-\frac16\right)+2\pi n;$$
$$\tg x=\frac12 \Rightarrow x=\arctan\frac12+\pi n.$$Для пункта г) значение правой части больше 1, поэтому решений нет.
$$\sin x+2\sin x\cos x-4\cos x-2=0$$
$$\sin x-2+2\cos x(\sin x-2)=0$$
$$\sin x-2+2\cos x\sin x-4\cos x=0$$
$$\left(\sin x-2\right)\left(1+2\cos x\right)=0.$$Так как $$\sin x=2$$ не имеет решений, остаётся
$$1+2\cos x=0,$$
$$\cos x=-\frac12,$$
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
Ответ
1) а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; б) $$x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$; в) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$; г) $$x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n$$.
2) а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$; б) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$; в) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$.
3) а) $$x=(-1)^n\arcsin\frac15+\pi n$$; б) $$x=\pm\arccos\!\left(-\frac16\right)+2\pi n$$; в) $$x=\arctan\frac12+\pi n$$; г) решений нет.
4) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$
