Контрольная работа 3 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Вычислите (3^(1/2)·9^(3/4))/(2^(2/3)·4^(2/3)).
3. Постройте график функции и перечислите свойства этой функции:
а) y=2^x; б) y=(1/3)^x.
4. Упростите выражение (2/(x^(1/4)-y^(1/4))+2/(x^(1/4)+y^(1/4)))·(x^(-1/2)-y^(-1/2))/(6x^(-1/4)y^(-1/2)).
5*. Упростите выражение (((x^(1/3)+x^(-1/3))^2-2)/((x^(1/3)-x^(-1/3))^2+2)-x)^(3/4) и найдите его значение при x=0,9919.
6*. Вычислите предел последовательности:
а) (n > +?)lim((5n^3-n^2-4)/(3n^3+11n^2+1)); б) (n > +?)lim((3n^2+4)/(n^3+n^2+1));
в) (n > +?)lim((n+1)^(1/3)-n^(1/3)); г) (n > +?)lim(4+5n+4n^2-3n^3).
7*. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились через некоторое время. Если бы они отправились одновременно из тех же пунктов в одном направлении, то, для того чтобы догнать пешехода, велосипедисту потребовалось бы в 5 раз больше времени, чем они потратили до встречи при движении навстречу друг другу. Во сколько раз скорость велосипедиста больше скорости пешехода?

1. $$\left(a^{\frac12}\cdot a^{\frac13}\right)^6=a^{\left(\frac12+\frac13\right)\cdot 6}=a^{5}.$$

   При $$a=\left(\frac13\right)^{\frac25}$$ получаем

   $$a^5=\left(\left(\frac13\right)^{\frac25}\right)^5=\left(\frac13\right)^2=\frac19.$$

2. $$\frac{3^{\frac12}\cdot 9^{\frac34}}{2^{\frac23}\cdot 4^{\frac23}}=\frac{3^{\frac12}\cdot \left(3^2\right)^{\frac34}}{2^{\frac23}\cdot \left(2^2\right)^{\frac23}}=\frac{3^{\frac12}\cdot 3^{\frac32}}{2^{\frac23}\cdot 2^{\frac43}}=\frac{3^2}{2^2}=\frac94.$$

3. а) $$y=2^x$$ — показательная функция при $$a>1$$.

   Свойства: $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(0;+\infty),\ y>0,$$ $$y(0)=1,$$ функция возрастает.

   б) $$y=\left(\frac13\right)^x$$ — показательная функция при $$0<a<1$$.

   Свойства: $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(0;+\infty),\ y>0,$$ $$y(0)=1,$$ функция убывает.

4. $$A=\left(\frac{2}{x^{\frac14}-y^{\frac14}}+\frac{2}{x^{\frac14}+y^{\frac14}}\right)\cdot \frac{x^{-\frac12}-y^{-\frac12}}{6x^{-\frac14}y^{-\frac12}}.$$

   Сложим дроби в первой скобке:

   $$\frac{2}{x^{\frac14}-y^{\frac14}}+\frac{2}{x^{\frac14}+y^{\frac14}}=\frac{4x^{\frac14}}{x^{\frac12}-y^{\frac12}}.$$

   Тогда

   $$A=\frac{4x^{\frac14}}{x^{\frac12}-y^{\frac12}}\cdot \frac{x^{-\frac12}-y^{-\frac12}}{6x^{-\frac14}y^{-\frac12}}.$$

   Так как

   $$x^{-\frac12}-y^{-\frac12}=\frac{y^{\frac12}-x^{\frac12}}{x^{\frac12}y^{\frac12}}=-\frac{x^{\frac12}-y^{\frac12}}{x^{\frac12}y^{\frac12}},$$

   то

   $$A=\frac{4x^{\frac14}}{x^{\frac12}-y^{\frac12}}\cdot \frac{-\left(x^{\frac12}-y^{\frac12}\right)}{x^{\frac12}y^{\frac12}}\cdot \frac{1}{6x^{-\frac14}y^{-\frac12}}=-\frac23.$$

5. Преобразуем выражение:

   $$\left(\frac{\left(x^{\frac13}+x^{-\frac13}\right)^2-2}{\left(x^{\frac13}-x^{-\frac13}\right)^2+2}-x\right)^{\frac34}.$$

   Раскроем скобки:

   $$\left(x^{\frac23}+2+x^{-\frac23}-2\right)\Big/\left(x^{\frac23}-2+x^{-\frac23}+2\right)=\frac{x^{\frac23}+x^{-\frac23}}{x^{\frac23}+x^{-\frac23}}=1.$$

   Значит, всё выражение равно

   $$\left(1-x\right)^{\frac34}.$$

   При $$x=0{,}9919$$:

   $$\left(1-0{,}9919\right)^{\frac34}=0{,}0081^{\frac34}=\left(0{,}3^4\right)^{\frac34}=0{,}3^3=0{,}027.$$

6. а)

   $$\lim_{n\to+\infty}\frac{5n^3-n^2-4}{3n^3+11n^2+1}=\lim_{n\to+\infty}\frac{5-\frac1n-\frac4{n^3}}{3+\frac{11}{n}+\frac1{n^3}}=\frac53.$$

   б)

   $$\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2+4}{n^3+n^2+1}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac3n+\frac4{n^3}}{1+\frac1n+\frac1{n^3}}=0.$$

   в)

   $$\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}\right)=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\left(\sqrt[3]{n+1}\right)^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n}+\left(\sqrt[3]{n}\right)^2}=0.$$

   г)

   $$\lim_{n\to+\infty}\left(4+5n+4n^2-3n^3\right)=-\infty.$$

7. Пусть $$x$$ — скорость велосипедиста, $$y$$ — скорость пешехода, $$t$$ — время до встречи при движении навстречу.

   Тогда расстояние между пунктами:

   $$S=(x+y)t.$$

   При движении в одном направлении время догоняния равно $$5t$$, значит

   $$S=(x-y)\cdot 5t.$$

   Следовательно,

   $$ (x+y)t=5t(x-y), $$

   $$x+y=5x-5y,$$

   $$4x=6y,$$

   $$\frac{x}{y}=\frac32.$$

Ответ

1) $$\frac19$$; 2) $$\frac94$$; 3) а) $$y=2^x$$ — возрастает, $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(0;+\infty)$$; б) $$y=\left(\frac13\right)^x$$ — убывает, $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(0;+\infty)$$; 4) $$-\frac23$$; 5) $$0{,}027$$; 6) а) $$\frac53$$, б) $$0$$, в) $$0$$, г) $$-\infty$$; 7) в $$1{,}5$$ раза.