Самостоятельная работа 37 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Вычислите:
а) (tg(48°)-tg(18°))/(1+tg(48°)tg(18°));
б) (tg(21°)+tg(39°))/(1-tg(21°)tg(39°)).
3. Докажите равенство
(tg(3?)-tg(2?))/(1+tg(3?)tg(2?))+(tg(2?)-tg(?))/(1+tg(2?)tg(?))=2tg(?)
для тех ?, для которых определены обе его части.
4. Вычислите tg(2?), если tg(?)=1/5.
5. Вычислите tg(75°).

1. Используем формулы:

   $$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}, \qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}.$$

   При $$\tg\alpha=\frac12$$ и $$\tg\beta=\frac14$$ получаем:

   $$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\frac12+\frac14}{1-\frac12\cdot\frac14}=\frac{\frac34}{\frac78}=\frac67,$$

   $$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\frac12-\frac14}{1+\frac12\cdot\frac14}=\frac{\frac14}{\frac98}=\frac29.$$

2. а)

   $$\frac{\tg48^\circ-\tg18^\circ}{1+\tg48^\circ\tg18^\circ}=\tg(48^\circ-18^\circ)=\tg30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}.$$

   б)

   $$\frac{\tg21^\circ+\tg39^\circ}{1-\tg21^\circ\tg39^\circ}=\tg(21^\circ+39^\circ)=\tg60^\circ=\sqrt3.$$

3. Преобразуем левую часть:

   $$\frac{\tg3\alpha-\tg2\alpha}{1+\tg3\alpha\tg2\alpha}+\frac{\tg2\alpha-\tg\alpha}{1+\tg2\alpha\tg\alpha}=\tg(3\alpha-2\alpha)+\tg(2\alpha-\alpha).$$

   Тогда

   $$\tg(3\alpha-2\alpha)+\tg(2\alpha-\alpha)=\tg\alpha+\tg\alpha=2\tg\alpha.$$

4. Используем формулу двойного угла:

   $$\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}.$$

   При $$\tg\alpha=\frac15$$ имеем:

   $$\tg2\alpha=\frac{2\cdot\frac15}{1-\left(\frac15\right)^2}=\frac{\frac25}{1-\frac1{25}}=\frac{\frac25}{\frac{24}{25}}=\frac{5}{12}.$$

5. Найдём $$\tg75^\circ$$:

   $$\tg75^\circ=\tg(45^\circ+30^\circ)=\frac{\tg45^\circ+\tg30^\circ}{1-\tg45^\circ\tg30^\circ}.$$

   Подставим значения:

   $$\tg75^\circ=\frac{1+\frac{\sqrt3}{3}}{1-\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}.$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$\tg75^\circ=\frac{(3+\sqrt3)^2}{9-3}=\frac{12+6\sqrt3}{6}=2+\sqrt3.$$

Ответ

1) $$\frac67,\ \frac29$$; 2) а) $$\frac{\sqrt3}{3}$$, б) $$\sqrt3$$; 3) $$2\tg\alpha$$; 4) $$\frac{5}{12}$$; 5) $$2+\sqrt3$$.