Самостоятельная работа 43 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

Решите неравенства (1—4).

1. а) $$\sin(x)>-\frac{1}{2}$$; б) $$\cos(x)<\frac{\sqrt{2}}{2}$$; в) $$\operatorname{tg}(x)>\sqrt{3}$$.
2. а) $$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\mathord{?}\frac{\sqrt{3}}{2}$$; б) $$\cos\left(3x-\frac{2\pi}{3}\right)\mathord{?}-\frac{1}{2}$$.
3. $$2\cos^2(x)+\sqrt{2}\sin(x)>2$$.
4. Определите все $$a$$, при каждом из которых неравенство $$4\sin(x)+3\cos(x)\mathord{?}a$$ имеет хотя бы одно решение.

1. а) $$\sin x>-\frac12$$

   Значения синуса больше $$-\frac12$$ на промежутке

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   б) $$\cos x<\frac{\sqrt2}{2}$$

   Тогда

   $$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   в) $$\tg x>\sqrt3$$

   Получаем

   $$\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. а) $$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\le \frac{\sqrt3}{2}$$

   Положим $$y=x+\frac{\pi}{3}$$. Тогда

   $$\sin y\le \frac{\sqrt3}{2}.$$

   Это выполняется при

   $$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n\le y\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$-\frac{5\pi}{3}+2\pi n\le x\le 2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   б) $$\cos\left(3x-\frac{2\pi}{3}\right)\ge -\frac12$$

   Положим $$y=3x-\frac{2\pi}{3}$$. Тогда

   $$\cos y\ge -\frac12.$$

   Следовательно,

   $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le y\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le 3x-\frac{2\pi}{3}\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

   $$2\pi n\le 3x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n,$$

   $$\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{4\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$2\cos^2 x+\sqrt2\sin x>2$$

   Положим $$y=\sin x$$. Тогда $$\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-y^2$$, и получаем

   $$2(1-y^2)+\sqrt2\,y>2,$$

   $$-2y^2+\sqrt2\,y>0,$$

   $$y(\sqrt2-2y)>0.$$

   С учётом $$-1\le y\le 1$$ имеем

   $$0<y<\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Значит,

   $$0<\sin x<\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Отсюда

   $$2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. Рассмотрим неравенство

   $$4\sin x+3\cos x\le a.$$

   Амплитуда левой части равна

   $$\sqrt{4^2+3^2}=5.$$

   Поэтому

   $$4\sin x+3\cos x=5\sin(x+t),$$

   где $$\cos t=\frac45,\ \sin t=\frac35.$$

   Тогда неравенство принимает вид

   $$5\sin(x+t)\le a,$$

   то есть

   $$\sin(x+t)\le \frac{a}{5}.$$

   Чтобы оно имело хотя бы одно решение, нужно и достаточно, чтобы

   $$\frac{a}{5}\ge -1,$$

   то есть

   $$a\ge -5.$$

Ответ

1) а) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.

2) а) $$-\frac{5\pi}{3}+2\pi n\le x\le 2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{4\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$.

3) $$\left(2\pi n;\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\pi+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$.

4) $$a\ge -5$$.