Самостоятельная работа 42 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: $$\sin(x)+5\cos(x)=0$$
2. Решите уравнение: $$\sin(2x)-\sqrt{3}\cos(2x)=0$$
3. Решите уравнение: $$\sin^2(x)+2\sin(x)\cos(x)-3\cos^2(x)=0$$
4. Решите уравнение: $$6\cos^2(x)+4\sin(x)\cos(x)=1$$
5. Определите все $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\sin^2(x)+6\sin(x)\cos(x)+a\cos^2(x)=0$$ не имеет решения.

1. $$\sin x+5\cos x=0$$
   $$\cos x\neq 0,\quad \tg x=-5$$
   $$x=-\arctg 5+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin 2x-\sqrt3\cos 2x=0$$
   $$\cos 2x\neq 0,\quad \tg 2x=\sqrt3$$
   $$2x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$
   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$
   $$\cos^2 x\neq 0,\quad \tg^2 x+2\tg x-3=0$$
   $$y=\tg x$$
   $$y^2+2y-3=0$$
   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16$$
   $$y_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\quad y_2=\frac{-2+4}{2}=1$$
   $$\tg x=-3 \quad \text{или} \quad \tg x=1$$
   $$x=-\arctg 3+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$6\cos^2 x+4\sin x\cos x=1$$
   $$6\cos^2 x+4\sin x\cos x=\sin^2 x+\cos^2 x$$
   $$\sin^2 x-4\sin x\cos x-5\cos^2 x=0$$
   $$\cos^2 x\neq 0,\quad \tg^2 x-4\tg x-5=0$$
   $$y=\tg x$$
   $$y^2-4y-5=0$$
   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=36$$
   $$y_1=\frac{4-6}{2}=-1,\quad y_2=\frac{4+6}{2}=5$$
   $$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=5$$
   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 5+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$\sin^2 x+6\sin x\cos x+a\cos^2 x=0$$
   $$\cos^2 x\neq 0,\quad \tg^2 x+6\tg x+a=0$$
   $$y=\tg x$$
   $$y^2+6y+a=0$$
   Чтобы уравнение не имело решений, квадратное уравнение не должно иметь действительных корней:
   $$D=6^2-4a<0$$ $$36-4a<0$$ $$a>9.$$

Ответ

1) $$x=-\arctg 5+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$
3) $$x=-\arctg 3+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
4) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 5+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
5) $$a\in(9;+\infty)$$