Самостоятельная работа 35 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) 2sin(?/8)cos(?/8);
б) (cos(?/12)-sin(?/12))(cos(?/12)+sin(?/12)).
2. Вычислите sin(2?) и cos(2?), если sin(?)=0,6 и ?/2 < ? < ?. 3. Докажите равенство sin(2?)=2tg(?)/(1+tg^2(?)), если ???/2+?n, n?Z. 4. Вычислите: a) sin(15°); б) cos(22°30'). 5. Вычислите sin(?/2) и cos(?/2), если cos(?)=1/8, 3?/2 < ? < 2?.

1. Используем формулы двойного угла и разности квадратов:

   $$2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   $$\left(\cos\frac{\pi}{12}-\sin\frac{\pi}{12}\right)\left(\cos\frac{\pi}{12}+\sin\frac{\pi}{12}\right)=\cos^2\frac{\pi}{12}-\sin^2\frac{\pi}{12}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

2. Дано $$\sin\alpha=0{,}6$$ и $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$, значит $$\cos\alpha<0$$.

   $$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-0{,}36}=-\sqrt{0{,}64}=-0{,}8.$$

   $$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot0{,}6\cdot(-0{,}8)=-0{,}96.$$

   $$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=0{,}64-0{,}36=0{,}28.$$

3. Преобразуем выражение:

   $$\frac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha} =\frac{2\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1+\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2} =\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha} =2\sin\alpha\cos\alpha =\sin2\alpha.$$

4. Используем формулы половинного угла:

   $$\sin15^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos30^\circ}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2}} =\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{4}} =\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}.$$

   $$\cos22^\circ30’=\sqrt{\frac{1+\cos45^\circ}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}} =\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{4}} =\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$

5. Так как $$\cos\alpha=\frac18$$ и $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$, то $$\frac{\alpha}{2}\in\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right)$$, следовательно, $$\sin\frac{\alpha}{2}>0$$, $$\cos\frac{\alpha}{2}<0$$.

   $$\cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} =-\sqrt{\frac{1+\frac18}{2}} =-\sqrt{\frac{9}{16}} =-\frac34.$$

   $$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac18}{2}} =\sqrt{\frac{7}{16}} =\frac{\sqrt7}{4}.$$

Ответ

1) $$\frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt3}{2}$$; 2) $$-0{,}96,\ 0{,}28$$; 3) $$\frac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha}=\sin2\alpha$$; 4) $$\sin15^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2},\ \cos22^\circ30’=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$$; 5) $$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt7}{4},\ \cos\frac{\alpha}{2}=-\frac34$$.