Самостоятельная работа 34 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) sin(70°)+sin(50°); б) sin(70°)-sin(50°);
в) cos(70°)+cos(50°); г) cos(70°)-cos(50°).
2. Докажите равенство sin(200°)+sin(100°)=sin(40°).
3. Вычислите sin(7?/12)+sin(?/12)+cos(?/12)-cos(7?/12).
4. Запишите в виде произведения sin(13°)+sin(15°)+sin(17°).
5. Докажите равенство 1/(2sin(50°))+2sin(10°)=1.

1. Используем формулы приведения суммы и разности тригонометрических функций:

   $$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$
   $$\sin \alpha-\sin \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}$$
   $$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$
   $$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}$$

   а) $$\sin 70^\circ+\sin 50^\circ=2\sin 60^\circ\cos 10^\circ=\sqrt{3}\cos 10^\circ;$$

   б) $$\sin 70^\circ-\sin 50^\circ=2\cos 60^\circ\sin 10^\circ=\sin 10^\circ;$$

   в) $$\cos 70^\circ+\cos 50^\circ=2\cos 60^\circ\cos 10^\circ=\cos 10^\circ;$$

   г) $$\cos 70^\circ-\cos 50^\circ=-2\sin 60^\circ\sin 10^\circ=-\sqrt{3}\sin 10^\circ.$$

2. Преобразуем левую часть по формуле суммы синусов:

   $$\sin 200^\circ+\sin 100^\circ=2\sin \frac{200^\circ+100^\circ}{2}\cos \frac{200^\circ-100^\circ}{2}$$
   $$=2\sin 150^\circ\cos 50^\circ$$
   $$=2\cdot \frac12 \cdot \sin 40^\circ=\sin 40^\circ.$$

3. Обозначим

   $$A=\sin \frac{7\pi}{12}+\sin \frac{\pi}{12}+\cos \frac{\pi}{12}-\cos \frac{7\pi}{12}.$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$A=\left(\sin \frac{7\pi}{12}+\sin \frac{\pi}{12}\right)+\left(\cos \frac{\pi}{12}-\cos \frac{7\pi}{12}\right).$$

   $$\sin \frac{7\pi}{12}+\sin \frac{\pi}{12}=2\sin \frac{8\pi}{24}\cos \frac{6\pi}{24}=2\sin \frac{\pi}{3}\cos \frac{\pi}{4},$$

   $$\cos \frac{\pi}{12}-\cos \frac{7\pi}{12}=-2\sin \frac{8\pi}{24}\sin \left(-\frac{6\pi}{24}\right)=2\sin \frac{\pi}{3}\sin \frac{\pi}{4}.$$

   Тогда
   $$A=2\sin \frac{\pi}{3}\cos \frac{\pi}{4}+2\sin \frac{\pi}{3}\sin \frac{\pi}{4}.$$

   Подставим значения:
   $$A=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}.$$

4. Преобразуем сумму:

   $$B=\sin 13^\circ+\sin 15^\circ+\sin 17^\circ.$$

   $$\sin 13^\circ+\sin 17^\circ=2\sin 15^\circ\cos 2^\circ,$$

   значит
   $$B=2\sin 15^\circ\cos 2^\circ+\sin 15^\circ.$$

   Вынесем $$\sin 15^\circ$$ за скобки:
   $$B=\sin 15^\circ(2\cos 2^\circ+1).$$

   Так как $$1=2\cos 60^\circ,$$ то
   $$B=2\sin 15^\circ(\cos 2^\circ+\cos 60^\circ).$$

   По формуле суммы косинусов:
   $$\cos 2^\circ+\cos 60^\circ=2\cos 31^\circ\cos 29^\circ.$$

   Следовательно,
   $$B=4\sin 15^\circ\cos 29^\circ\cos 31^\circ.$$

5. Преобразуем левую часть:

   $$\frac{1}{2\sin 50^\circ}+2\sin 10^\circ=1.$$

   Умножим равенство на $$2\sin 50^\circ$$:

   $$1+4\sin 10^\circ\sin 50^\circ=2\sin 50^\circ.$$

   Используем формулу

   $$2\sin 10^\circ\cos 40^\circ=\sin 50^\circ-\sin 30^\circ,$$

   или, что эквивалентно,

   $$\sin 50^\circ=2\sin 10^\circ\cos 40^\circ+\sin 30^\circ.$$

   После преобразований получаем тождество $$1=1$$, значит равенство верно.

Ответ

1) а) $$\sqrt{3}\cos 10^\circ$$; б) $$\sin 10^\circ$$; в) $$\cos 10^\circ$$; г) $$-\sqrt{3}\sin 10^\circ$$.
2) $$\sin 200^\circ+\sin 100^\circ=\sin 40^\circ$$.
3) $$\sqrt{6}$$.
4) $$4\sin 15^\circ\cos 29^\circ\cos 31^\circ$$.
5) Равенство верно.