Самостоятельная работа 33 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) sin(5?/2+?); б) cos(3?+?); в) sin(7?/2-?).
2. Вычислите 3cos(7?/2+?)+2sin(17?-?), если sin(?)=-0,2.
3. Вычислите (3sin(?/2-?)-2cos(?-?))/(2sin(?+?)-3cos(3?/2-?)), если tg(?)=5.
4. Докажите равенство (3cos(50°)-4sin(140°))/cos(130°)=1.
Используем формулы приведения:
$$\sin\left(\frac{5\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\left(2\pi+\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha,$$
$$\cos(3\pi+\alpha)=\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha,$$
$$\sin\left(\frac{7\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\left(2\pi+\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha.$$
Вычислим значение выражения:
$$A=3\cos\left(\frac{7\pi}{2}+\alpha\right)+2\sin(17\pi-\alpha).$$
$$\cos\left(\frac{7\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha,$$
$$\sin(17\pi-\alpha)=\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha.$$
Тогда
$$A=3\sin\alpha+2\sin\alpha=5\sin\alpha.$$При $$\sin\alpha=-0{,}2$$ получаем:
$$A=5\cdot(-0{,}2)=-1.$$Вычислим значение выражения:
$$B=\frac{3\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-2\cos(\pi-\alpha)}{2\sin(\pi+\alpha)-3\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}.$$
Используем формулы:
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha,\quad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha,$$
$$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\quad \cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin\alpha.$$Тогда
$$B=\frac{3\cos\alpha-2(-\cos\alpha)}{2(-\sin\alpha)-3(-\sin\alpha)}=\frac{5\cos\alpha}{\sin\alpha}=5\ctg\alpha.$$Так как $$\tg\alpha=5,$$ то
$$\ctg\alpha=\frac{1}{5},$$
значит
$$B=5\cdot\frac{1}{5}=1.$$Докажем равенство:
$$\frac{3\cos 50^\circ-4\sin 140^\circ}{\cos 130^\circ}=1.$$
Преобразуем тригонометрические функции:
$$\sin 140^\circ=\sin(90^\circ+50^\circ)=\cos 50^\circ,$$
$$\cos 130^\circ=\cos(180^\circ-50^\circ)=-\cos 50^\circ.$$Тогда
$$\frac{3\cos 50^\circ-4\cos 50^\circ}{-\cos 50^\circ} =\frac{-\cos 50^\circ}{-\cos 50^\circ}=1.$$
Ответ
1) $$\cos\alpha,\ -\cos\alpha,\ -\cos\alpha$$; 2) $$-1$$; 3) $$1$$; 4) $$1$$.
