Самостоятельная работа 32 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) cos(54°)cos(6°)-sin(54°)sin(6°);
б) cos(3?/10)cos(?/20)+sin(?/20)sin(3?/10).
2. Упростите выражение sin(3x+2y)cos(x+2y)-sin(x+2y)cos(3x+2y).
3. Вычислите (sin(13°)cos(47°)+sin(47°)cos(13°))/(cos(98°)cos(38°)+sin(98°)sin(38°)).
4. Сравните (sin(58°)cos(52°)+sin(52°)cos(58°))/(cos(68°)cos(42°)-sin(42°)sin(68°)) и (sin(48°)+cos(48°))/(cos(24°)-sin(24°)).
5. Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения sin(x)+cos(x).
6. Вычислите sin(arcsin(0,6)+arcsin(12/13)).

1. Используем формулу

   $$\cos A \cos B-\sin A \sin B=\cos(A+B).$$

   а)

   $$\cos 54^\circ \cos 6^\circ-\sin 54^\circ \sin 6^\circ=\cos(54^\circ+6^\circ)=\cos 60^\circ=\frac12.$$

   б)

   $$\cos \frac{3\pi}{10}\cos \frac{\pi}{20}+\sin \frac{\pi}{20}\sin \frac{3\pi}{10}=\cos\left(\frac{3\pi}{10}-\frac{\pi}{20}\right)=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

2. Применим формулу

   $$\sin A\cos B-\sin B\cos A=\sin(A-B).$$

   Тогда

   $$\sin(3x+2y)\cos(x+2y)-\sin(x+2y)\cos(3x+2y)=\sin\bigl((3x+2y)-(x+2y)\bigr)=\sin 2x.$$

3. Преобразуем числитель и знаменатель по формулам суммы и разности:

   $$ \frac{\sin 13^\circ \cos 47^\circ+\sin 47^\circ \cos 13^\circ}{\cos 98^\circ \cos 38^\circ+\sin 98^\circ \sin 38^\circ} = \frac{\sin(13^\circ+47^\circ)}{\cos(98^\circ-38^\circ)} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} =\sqrt3. $$

4. Первое выражение:

   $$ A=\frac{\sin 58^\circ \cos 52^\circ+\sin 52^\circ \cos 58^\circ}{\cos 68^\circ \cos 42^\circ-\sin 42^\circ \sin 68^\circ} = \frac{\sin(58^\circ+52^\circ)}{\cos(68^\circ+42^\circ)} = \frac{\sin 110^\circ}{\cos 110^\circ} =\tan 110^\circ<0. $$

   Второе выражение:

   $$ B=\frac{\sin 48^\circ+\cos 48^\circ}{\cos 24^\circ-\sin 24^\circ}. $$

   Так как $$\sin 48^\circ+\cos 48^\circ>0$$ и $$\cos 24^\circ-\sin 24^\circ>0,$$ то $$B>0.$$ Следовательно, $$B>A.$$

5. Преобразуем сумму:

   $$ \sin x+\cos x=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right) =\sqrt2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right) =\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right). $$

   Так как $$-1\le \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то

   $$-\sqrt2\le \sin x+\cos x\le \sqrt2.$$

6. Обозначим

   $$\alpha=\arcsin 0{,}6,\qquad \beta=\arcsin \frac{12}{13}.$$

   Тогда

   $$\sin\alpha=0{,}6,\qquad \cos\alpha=\sqrt{1-0{,}6^2}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8,$$

   $$\sin\beta=\frac{12}{13},\qquad \cos\beta=\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}.$$

   Теперь

   $$ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta =0{,}6\cdot\frac{5}{13}+0{,}8\cdot\frac{12}{13} =\frac{3}{13}+\frac{9{,}6}{13} =\frac{12{,}6}{13} =\frac{63}{65}. $$

Ответ

1) а) $$\frac12$$; б) $$\frac{\sqrt2}{2}$$; 2) $$\sin 2x$$; 3) $$\sqrt3$$; 4) первое меньше; 5) наименьшее $$-\sqrt2$$, наибольшее $$\sqrt2$$; 6) $$\frac{63}{65}$$.