Самостоятельная работа 4 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. а) Сократите дробь $$\frac{x^3+7x^2+16x+12}{x^3+5x^2+8x+4}$$.
   б) Найдите значение полученной дроби при $$x=-2$$.
2. а) Запишите в виде дроби выражение $$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\ldots+\frac{1}{(x+9)(x+10)}$$.
   б) Найдите значение полученной дроби при $$x=-1$$.
3. Упростите выражение $$\left(\frac{x^3+8}{x^3-2x^2+4x}-\frac{8x^3+1}{4x^2-2x+1}\right):\left(\frac{8x^3-1}{4x^2+2x+1}+\frac{x^3-8}{x^3+2x^2+4x}\right)$$.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:

   $$x^3+7x^2+16x+12=(x+2)(x^2+5x+6)=(x+2)(x+2)(x+3),$$

   $$x^3+5x^2+8x+4=(x+2)(x^2+3x+2)=(x+2)(x+1)(x+2).$$

   Тогда

   $$\frac{x^3+7x^2+16x+12}{x^3+5x^2+8x+4} = \frac{(x+2)(x+2)(x+3)}{(x+2)(x+2)(x+1)} = \frac{x+3}{x+1}.$$

   При $$x=-2$$:

   $$\frac{x+3}{x+1}=\frac{-2+3}{-2+1}=-1.$$

2. Преобразуем сумму к телескопическому виду:

   $$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{(x+9)(x+10)}$$

   $$= \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right) + \left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right) +\cdots+ \left(\frac{1}{x+9}-\frac{1}{x+10}\right).$$

   После сокращения остаётся:

   $$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+10} = \frac{10}{x(x+10)}.$$

   При $$x=-1$$:

   $$\frac{10}{x(x+10)}=\frac{10}{-1\cdot 9}=-\frac{10}{9}.$$

3. Упростим выражение:

   $$\left(\frac{x^3+8}{x^3-2x^2+4x}-\frac{8x^3+1}{4x^2-2x+1}\right): \left(\frac{8x^3-1}{4x^2+2x+1}+\frac{x^3-8}{x^3+2x^2+4x}\right).$$

   Разложим на множители:

   $$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4), \qquad x^3-2x^2+4x=x(x^2-2x+4),$$

   $$8x^3+1=(2x+1)(4x^2-2x+1), \qquad 8x^3-1=(2x-1)(4x^2+2x+1),$$

   $$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4), \qquad x^3+2x^2+4x=x(x^2+2x+4).$$

   Тогда

   $$\frac{x^3+8}{x^3-2x^2+4x}-\frac{8x^3+1}{4x^2-2x+1} = \frac{x+2}{x}-\left(2x+1\right) = \frac{x+2-x(2x+1)}{x} = \frac{2-2x^2}{x},$$

   а

   $$\frac{8x^3-1}{4x^2+2x+1}+\frac{x^3-8}{x^3+2x^2+4x} = 2x-1+\frac{x-2}{x} = \frac{x(2x-1)+x-2}{x} = \frac{2x^2-2}{x}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\frac{2-2x^2}{x}}{\frac{2x^2-2}{x}} = \frac{2-2x^2}{2x^2-2} = -1.$$

Ответ

1) $$\frac{x+3}{x+1}$$, при $$x=-2$$: $$-1$$;

2) $$\frac{10}{x(x+10)}$$, при $$x=-1$$: $$-\frac{10}{9}$$;

3) $$-1$$.