Самостоятельная работа 39 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

Решите уравнение (1—4).

1. а) $$\sin(x)=1$$; б) $$\cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$; в) $$\sin(x)=\frac{1}{2}$$; г) $$\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
2. а) $$\tg(x)=-1$$; б) $$\ctg(x)=\sqrt{3}$$; в) $$\tg(x)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$.
3. а) $$\sin(x)=\frac{1}{5}$$; б) $$\cos(x)=-\frac{1}{6}$$; в) $$\tg(x)=\frac{1}{2}$$; г) $$\cos(x)=\frac{?}{2}$$.
4. $$\sin(x)+2\sin(x)\cos(x)-4\cos(x)-2=0$$.

1. Используем стандартные значения тригонометрических функций:

   $$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;$$
   $$\cos x=-\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n;$$
   $$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n;$$
   $$\cos x=\frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

2. $$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n;$$
   $$\ctg x=\sqrt3 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\pi n;$$
   $$\tg x=-\frac{\sqrt3}{3} \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

3. $$\sin x=\frac15 \Rightarrow x=(-1)^n\arcsin\frac15+\pi n;$$
   $$\cos x=-\frac16 \Rightarrow x=\pm\arccos\!\left(-\frac16\right)+2\pi n;$$
   $$\tg x=\frac12 \Rightarrow x=\arctan\frac12+\pi n.$$

   Для пункта г) значение правой части больше 1, поэтому решений нет.

4. $$\sin x+2\sin x\cos x-4\cos x-2=0$$
   $$\sin x-2+2\cos x(\sin x-2)=0$$
   $$\sin x-2+2\cos x\sin x-4\cos x=0$$
   $$\left(\sin x-2\right)\left(1+2\cos x\right)=0.$$

   Так как $$\sin x=2$$ не имеет решений, остаётся

   $$1+2\cos x=0,$$
   $$\cos x=-\frac12,$$
   $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Ответ

1) а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; б) $$x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$; в) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$; г) $$x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n$$.

2) а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$; б) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$; в) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$.

3) а) $$x=(-1)^n\arcsin\frac15+\pi n$$; б) $$x=\pm\arccos\!\left(-\frac16\right)+2\pi n$$; в) $$x=\arctan\frac12+\pi n$$; г) решений нет.

4) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$