Самостоятельная работа 30 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
2. Вычислите (tg(?)+ctg(?))·cos(?), если sin(?)=0,4.
3. Докажите равенство (tg(-?)-1)(ctg(?+5?)-1)/((tg(?-4?)-1)(ctg(-?)-1))=-1, для тех ?, для которых определена левая часть равенства.
Дано: $$\cos \alpha=-\frac{5}{13}, \quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$
Так как угол $$\alpha$$ лежит во II четверти, то $$\sin \alpha>0$$:
$$ \sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2 \alpha} =\sqrt{1-\frac{25}{169}} =\sqrt{\frac{144}{169}} =\frac{12}{13}. $$
$$ \tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{12/13}{-5/13} =-\frac{12}{5}, \qquad \ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha} =-\frac{5}{12}. $$
Вычислим:
$$ S=(\tg \alpha+\ctg \alpha)\cdot \cos \alpha. $$
$$ S=\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)\cos \alpha =\sin \alpha+\frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} =\frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} =\frac{1}{\sin \alpha}. $$
Так как $$\sin \alpha=0{,}4=\frac{2}{5},$$ то
$$ S=\frac{1}{0{,}4}=2{,}5. $$
Докажем равенство:
$$ \frac{(\tg(-\alpha)-1)(\ctg(\alpha+5\pi)-1)}{(\tg(\alpha-4\pi)-1)(\ctg(-\alpha)-1)}=-1. $$
Используем формулы приведения:
$$ \tg(-\alpha)=-\tg \alpha,\quad \ctg(\alpha+5\pi)=\ctg \alpha,\quad \tg(\alpha-4\pi)=\tg \alpha,\quad \ctg(-\alpha)=-\ctg \alpha. $$Тогда левая часть равна
$$ \frac{(-\tg \alpha-1)(\ctg \alpha-1)}{(\tg \alpha-1)(-\ctg \alpha-1)}. $$Вынесем минусы:
$$ \frac{-(\tg \alpha+1)(\ctg \alpha-1)}{-(\tg \alpha-1)(\ctg \alpha+1)} =\frac{(\tg \alpha+1)(\ctg \alpha-1)}{(\tg \alpha-1)(\ctg \alpha+1)}. $$Раскроем скобки:
$$ \frac{\tg \alpha\cdot \ctg \alpha-\tg \alpha+\ctg \alpha-1}{\tg \alpha\cdot \ctg \alpha+\tg \alpha-\ctg \alpha-1}. $$Так как $$\tg \alpha\cdot \ctg \alpha=1,$$ получаем
$$ \frac{1-\tg \alpha+\ctg \alpha-1}{1+\tg \alpha-\ctg \alpha-1} =\frac{\ctg \alpha-\tg \alpha}{\tg \alpha-\ctg \alpha} =-1. $$
Ответ
1) $$\sin \alpha=\frac{12}{13},\ \tg \alpha=-\frac{12}{5},\ \ctg \alpha=-\frac{5}{12};$$
2) $$2{,}5;$$
3) $$-1.$$
