Самостоятельная работа 38 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

Постройте график функции $$y=\sin(x)$$.

1. Определите промежутки возрастания функции $$y=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$.
2. Докажите чётность (или нечётность) функции $$y=\sin(3x)-\sin(x)$$.
3. Определите главный период функции $$f(x)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$.
4. Определите наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=5\cos^2(7x)+3\sin^2(7x)$$.
5. Постройте график функции $$f(x)=\frac{|\sin(x)|+\sin(x)}{2}$$.

1. График функции $$y=\sin x$$ — стандартная синусоида с амплитудой $$1$$ и периодом $$2\pi$$. Она проходит через точки $$\left(0,0\right)$$, $$\left(\frac{\pi}{2},1\right)$$, $$\left(\pi,0\right)$$, $$\left(\frac{3\pi}{2},-1\right)$$, $$\left(2\pi,0\right)$$.

2. Функция $$y=\sin\frac{x}{2}$$ возрастает там, где возрастает синус от аргумента $$\frac{x}{2}$$:

   $$\frac{x}{2}\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$
   $$x\in\left[-\pi+4\pi n;\,\pi+4\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

   Значит, промежутки возрастания:

   $$\left[-\pi+4\pi n;\,\pi+4\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

3. Проверим чётность функции $$y=\sin 3x-\sin x$$:

   $$y(-x)=\sin(-3x)-\sin(-x)=-\sin 3x+\sin x=-(\sin 3x-\sin x)=-y(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

4. Найдём главный период функции

   $$f(x)=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$$

   По формуле двойного угла:

   $$2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=\sin x.$$

   У функции $$y=\sin x$$ главный период равен $$2\pi$$.

5. Рассмотрим функцию

   $$f(x)=5\cos^2 7x+3\sin^2 7x.$$

   Используем тождество $$\cos^2 7x=1-\sin^2 7x$$:

   $$f(x)=5(1-\sin^2 7x)+3\sin^2 7x=5-2\sin^2 7x.$$

   Так как $$0\le \sin^2 7x\le 1$$, то

   $$3\le 5-2\sin^2 7x\le 5.$$

   Следовательно, наименьшее значение функции равно $$3$$, а наибольшее — $$5$$.

6. Рассмотрим функцию

   $$f(x)=\frac{|\sin x|+\sin x}{2}.$$

   Если $$\sin x\ge 0$$, то $$|\sin x|=\sin x$$ и

   $$f(x)=\frac{\sin x+\sin x}{2}=\sin x.$$

   Если $$\sin x<0$$, то $$|\sin x|=-\sin x$$ и

   $$f(x)=\frac{-\sin x+\sin x}{2}=0.$$

   Значит, график функции совпадает с графиком $$y=\sin x$$ на тех промежутках, где $$\sin x\ge 0$$, и лежит на оси $$Ox$$ там, где $$\sin x<0$$.

Ответ

1) График $$y=\sin x$$ — стандартная синусоида.
2) $$\left[-\pi+4\pi n;\,\pi+4\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$.
3) Функция нечётная.
4) $$2\pi$$.
5) Наибольшее значение: $$5$$, наименьшее значение: $$3$$.
6) $$f(x)=\sin x$$ при $$\sin x\ge 0$$, и $$f(x)=0$$ при $$\sin x<0$$.