Самостоятельная работа 3 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) 2x^2-7x+3=0; б) x^2-4x+4=0; в) 3x^2+2x+1=0.
2. Верно ли, что число x_1=1 является корнем уравнения:
а) x^2-100x+99=0; б) x^2+3x-4=0; в) 2x^2-3x+1=0?
Если да, то найдите корень x_2 и разложите квадратный трехчлен в левой части уравнения на линейные множители.
3. Если квадратное уравнение x^2-12x+2=0 имеет корни x_1 и x_2, то, не вычисляя их, найдите значение числового выражения (x_1-x_2)^2.

1. Решим квадратные уравнения.

   а) $$2x^2-7x+3=0$$

   $$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

   $$x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{2\cdot 2}$$

   $$x_1=\frac{7-5}{4}=\frac12,\quad x_2=\frac{7+5}{4}=3$$

   б) $$x^2-4x+4=0$$

   $$x^2-4x+4=(x-2)^2$$

   $$x=2$$

   в) $$3x^2+2x+1=0$$

   $$D=2^2-4\cdot 3\cdot 1=4-12=-8$$

   Действительных корней нет.

2. Проверим, является ли число $$x_1=1$$ корнем уравнения, и найдём второй корень, если это так.

   а) $$x^2-100x+99=0$$

   $$f(1)=1-100+99=0$$

   Значит, $$x_1=1$$ — корень. Тогда

   $$x_1+x_2=100,\quad x_2=100-1=99$$

   $$x^2-100x+99=(x-1)(x-99)$$

   б) $$x^2+3x-4=0$$

   $$f(1)=1+3-4=0$$

   Значит, $$x_1=1$$ — корень. Тогда

   $$x_1+x_2=-3,\quad x_2=-3-1=-4$$

   $$x^2+3x-4=(x-1)(x+4)$$

   в) $$2x^2-3x+1=0$$

   $$f(1)=2-3+1=0$$

   Значит, $$x_1=1$$ — корень. Тогда

   $$x_1+x_2=\frac32,\quad x_2=\frac32-1=\frac12$$

   $$2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)$$

3. Для уравнения $$x^2-12x+2=0$$ по теореме Виета имеем:

   $$x_1+x_2=12,\quad x_1x_2=2$$

   Тогда

   $$ (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 $$

   $$ (x_1-x_2)^2=12^2-4\cdot 2=144-8=136 $$

Ответ

1) а) $$\frac12,\ 3$$; б) $$2$$; в) корней нет.

2) а) да, $$x_2=99$$, $$x^2-100x+99=(x-1)(x-99)$$; б) да, $$x_2=-4$$, $$x^2+3x-4=(x-1)(x+4)$$; в) да, $$x_2=\frac12$$, $$2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)$$.

3) $$136$$.