Самостоятельная работа 37 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Вычислите $$\operatorname{tg}(?+?)$$ и $$\operatorname{tg}(?-?)$$, если $$\operatorname{tg}(?)=\frac{1}{2}$$, $$\operatorname{tg}(?)=\frac{1}{4}$$.
- Вычислите:
а) $$\frac{\operatorname{tg}48^\circ-\operatorname{tg}18^\circ}{1+\operatorname{tg}48^\circ\operatorname{tg}18^\circ}$$;
б) $$\frac{\operatorname{tg}21^\circ+\operatorname{tg}39^\circ}{1-\operatorname{tg}21^\circ\operatorname{tg}39^\circ}$$. - Докажите равенство $$\frac{\operatorname{tg}(3?)-\operatorname{tg}(2?)}{1+\operatorname{tg}(3?)\operatorname{tg}(2?)}+\frac{\operatorname{tg}(2?)-\operatorname{tg}(?)}{1+\operatorname{tg}(2?)\operatorname{tg}(?)}=2\operatorname{tg}(?)$$ для тех $$?$$, для которых определены обе его части.
- Вычислите $$\operatorname{tg}(2?)$$, если $$\operatorname{tg}(?)=\frac{1}{5}$$.
- Вычислите $$\operatorname{tg}75^\circ$$.
Используем формулы:
$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}, \qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}.$$
При $$\tg\alpha=\frac12$$ и $$\tg\beta=\frac14$$ получаем:
$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\frac12+\frac14}{1-\frac12\cdot\frac14}=\frac{\frac34}{\frac78}=\frac67,$$
$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\frac12-\frac14}{1+\frac12\cdot\frac14}=\frac{\frac14}{\frac98}=\frac29.$$
а)
$$\frac{\tg48^\circ-\tg18^\circ}{1+\tg48^\circ\tg18^\circ}=\tg(48^\circ-18^\circ)=\tg30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}.$$
б)
$$\frac{\tg21^\circ+\tg39^\circ}{1-\tg21^\circ\tg39^\circ}=\tg(21^\circ+39^\circ)=\tg60^\circ=\sqrt3.$$
Преобразуем левую часть:
$$\frac{\tg3\alpha-\tg2\alpha}{1+\tg3\alpha\tg2\alpha}+\frac{\tg2\alpha-\tg\alpha}{1+\tg2\alpha\tg\alpha}=\tg(3\alpha-2\alpha)+\tg(2\alpha-\alpha).$$
Тогда
$$\tg(3\alpha-2\alpha)+\tg(2\alpha-\alpha)=\tg\alpha+\tg\alpha=2\tg\alpha.$$
Используем формулу двойного угла:
$$\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}.$$
При $$\tg\alpha=\frac15$$ имеем:
$$\tg2\alpha=\frac{2\cdot\frac15}{1-\left(\frac15\right)^2}=\frac{\frac25}{1-\frac1{25}}=\frac{\frac25}{\frac{24}{25}}=\frac{5}{12}.$$
Найдём $$\tg75^\circ$$:
$$\tg75^\circ=\tg(45^\circ+30^\circ)=\frac{\tg45^\circ+\tg30^\circ}{1-\tg45^\circ\tg30^\circ}.$$
Подставим значения:
$$\tg75^\circ=\frac{1+\frac{\sqrt3}{3}}{1-\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}.$$
Рационализуем знаменатель:
$$\tg75^\circ=\frac{(3+\sqrt3)^2}{9-3}=\frac{12+6\sqrt3}{6}=2+\sqrt3.$$
Ответ
1) $$\frac67,\ \frac29$$; 2) а) $$\frac{\sqrt3}{3}$$, б) $$\sqrt3$$; 3) $$2\tg\alpha$$; 4) $$\frac{5}{12}$$; 5) $$2+\sqrt3$$.
