Самостоятельная работа 29 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам ?, ? и ? (рис. 35). Определите значения тангенса и котангенса этих углов.
3. Изобразите на единичной окружности точки, соответствующие всем таким углам ?, для каждого из которых справедливо равенство:
а) tg(?)=-1; б) tg(?)=-v3;
в) ctg(?)=0; г) ctg(?)=-v3/3.
Запишите все такие углы ?.

1) Для острого угла прямоугольного треугольника по рисунку:

$$\tg \alpha=\frac{x}{y}, \qquad \ctg \alpha=\frac{y}{x}.$$

2) По точкам на единичной окружности получаем:

$$x’=\sqrt{3}, \quad \tg \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \ctg \alpha=\sqrt{3};$$

$$y’=\sqrt{3}, \quad \tg \beta=\sqrt{3}, \quad \ctg \beta=\frac{\sqrt{3}}{3};$$

$$x’=y’=1, \quad \tg \gamma=\ctg \gamma=1.$$

3) Найдём все углы, для которых выполняются данные равенства:

1. $$\tg \alpha=-1.$$

   Тогда

   $$\alpha=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\tg \alpha=-\sqrt{3}.$$

   Тогда

   $$\alpha=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$\ctg \alpha=0.$$

   Тогда

   $$\alpha=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\ctg \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

   Так как $$\ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha},$$ то

   $$\tg \alpha=-\sqrt{3}.$$

   Следовательно,

   $$\alpha=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$\tg \alpha=\frac{x}{y}, \ \ctg \alpha=\frac{y}{x}.$$

2) $$\tg \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}, \ \ctg \alpha=\sqrt{3}; \quad \tg \beta=\sqrt{3}, \ \ctg \beta=\frac{\sqrt{3}}{3}; \quad \tg \gamma=\ctg \gamma=1.$$

3) а) $$\alpha=-\frac{\pi}{4}+\pi n;$$ б) $$\alpha=-\frac{\pi}{3}+\pi n;$$ в) $$\alpha=\frac{\pi}{2}+\pi n;$$ г) $$\alpha=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$