Контрольная работа 2 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) (2^4)^(1/4)=2; б) ((-3)^4)^(1/4)=-3;
в) ((-4)^4)^(1/4)=4; г) (5^4)^(1/4)=-5?
2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) 3/5^(1/3); б) 6/(5^(1/3)+1); в) 3/(16^(1/3)+4^(1/3)+1).
3. Вычислите:
а) (312^2+2·312·313+313^2)^(1/4);
б) (1987^3-3·1987^2·987+3·1987·987^2-987^3)^(1/3).
4. Упростите выражение (a^(1/4)-b^(1/4))(a^(1/4)+b^(1/4))(va+vb).
5*. Вычислите 27^(1/3)-81^(1/4)+2/(v5-v3)-25^(1/4)-9^(1/4).
6*. Найдите значение выражения (x(xvx)^(1/3))^(1/4) при x=(4^4)^(1/3).
7*. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из пункта А в пункт В. Скорость велосипедиста была в 2 раза больше скорости пешехода, но в пути он сделал остановку для устранения поломки велосипеда и поэтому в пункт В прибыл лишь на б мин раньше пешехода, который на весь путь затратил 40 мин. Сколько минут велосипедист устранял поломку велосипеда?

1. Проверим равенства:

   а) $$\sqrt[4]{2^4}=2$$ — верно;
   б) $$\sqrt[4]{(-3)^4}=\sqrt[4]{3^4}=3$$, а не $$-3$$ — неверно;
   в) $$\sqrt[4]{(-4)^4}=\sqrt[4]{4^4}=4$$ — верно;
   г) $$\sqrt[4]{5^4}=5$$, а не $$-5$$ — неверно.

2. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

   а) $$\frac{3}{\sqrt[3]{5}}=\frac{3\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{125}}=\frac{3\sqrt[3]{25}}{5};$$

   б) $$\frac{6}{\sqrt[3]{5}+1}=\frac{6(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1)}{(\sqrt[3]{5}+1)(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1)}=\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1;$$

   в) $$\frac{3}{\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}+1}=\frac{3(\sqrt[3]{4}-1)}{(\sqrt[3]{4}-1)(\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}+1)}=\sqrt[3]{4}-1.$$

3. Вычислим:

   а)
   $$ \sqrt[4]{312^2+2\cdot312\cdot313+313^2} =\sqrt[4]{(312+313)^2} =\sqrt[4]{625^2} =\sqrt{625}=25; $$

   б)
   $$ \sqrt[3]{1987^3-3\cdot1987^2\cdot987+3\cdot1987\cdot987^2-987^3} =\sqrt[3]{(1987-987)^3} =\sqrt[3]{1000^3}=1000. $$

4. Упростим выражение:

   $$ (\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $$
   $$ =(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b. $$

5. Вычислим:

   $$ \sqrt[3]{27}-\sqrt[4]{81}+\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\sqrt[4]{25}-\sqrt[4]{9} $$
   $$ =3-3+\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}-\sqrt{5}-\sqrt{3} =\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}=0. $$

6. Найдём значение выражения:

   $$ \sqrt[4]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}} =\sqrt[24]{x^6\cdot x^3} =\sqrt[24]{x^9}, $$
   где
   $$ x=\sqrt[3]{4^4}. $$

   Тогда
   $$ \sqrt[24]{x^9}=\sqrt[24]{\left(\sqrt[3]{4^4}\right)^9} =\sqrt[24]{4^{12}}=\sqrt{4}=2. $$

7. Пусть велосипедист устранял поломку $$x$$ мин. Тогда время его движения в пути равно $$20$$ мин, а весь путь он затратил $$20+x$$ мин. Пешеход затратил $$40$$ мин, а велосипедист прибыл на $$5$$ мин раньше, значит:

   $$ 20+x=40-5=35, $$
   откуда
   $$ x=35-20=15. $$

Ответ

1) а) да; б) нет; в) да; г) нет.
2) а) $$\frac{3\sqrt[3]{25}}{5}$$; б) $$\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1$$; в) $$\sqrt[3]{4}-1$$.
3) а) $$25$$; б) $$1000$$.
4) $$a-b$$.
5) $$0$$.
6) $$2$$.
7) $$15$$ мин.