Самостоятельная работа 35 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Вычислите: а) $$2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}$$; б) $$\left(\cos\frac{\pi}{12}-\sin\frac{\pi}{12}\right)\left(\cos\frac{\pi}{12}+\sin\frac{\pi}{12}\right)$$.
- Вычислите $$\sin(2\alpha)$$ и $$\cos(2\alpha)$$, если $$\sin\alpha=0{,}6$$ и $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$.
- Докажите равенство $$\sin(2\alpha)=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}$$, если $$\alpha\ne\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$.
- Вычислите: а) $$\sin 15^\circ$$; б) $$\cos 22^\circ30’$$.
- Вычислите $$\sin\frac{\alpha}{2}$$ и $$\cos\frac{\alpha}{2}$$, если $$\cos\alpha=\frac{1}{8}$$, $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$.
Используем формулы двойного угла и разности квадратов:
$$2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$
$$\left(\cos\frac{\pi}{12}-\sin\frac{\pi}{12}\right)\left(\cos\frac{\pi}{12}+\sin\frac{\pi}{12}\right)=\cos^2\frac{\pi}{12}-\sin^2\frac{\pi}{12}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Дано $$\sin\alpha=0{,}6$$ и $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$, значит $$\cos\alpha<0$$.
$$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-0{,}36}=-\sqrt{0{,}64}=-0{,}8.$$
$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot0{,}6\cdot(-0{,}8)=-0{,}96.$$
$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=0{,}64-0{,}36=0{,}28.$$
Преобразуем выражение:
$$\frac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha} =\frac{2\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1+\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2} =\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha} =2\sin\alpha\cos\alpha =\sin2\alpha.$$
Используем формулы половинного угла:
$$\sin15^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos30^\circ}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2}} =\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{4}} =\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}.$$
$$\cos22^\circ30’=\sqrt{\frac{1+\cos45^\circ}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}} =\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{4}} =\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$
Так как $$\cos\alpha=\frac18$$ и $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$, то $$\frac{\alpha}{2}\in\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right)$$, следовательно, $$\sin\frac{\alpha}{2}>0$$, $$\cos\frac{\alpha}{2}<0$$.
$$\cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} =-\sqrt{\frac{1+\frac18}{2}} =-\sqrt{\frac{9}{16}} =-\frac34.$$
$$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac18}{2}} =\sqrt{\frac{7}{16}} =\frac{\sqrt7}{4}.$$
Ответ
1) $$\frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt3}{2}$$; 2) $$-0{,}96,\ 0{,}28$$; 3) $$\frac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha}=\sin2\alpha$$; 4) $$\sin15^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2},\ \cos22^\circ30’=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$$; 5) $$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt7}{4},\ \cos\frac{\alpha}{2}=-\frac34$$.
