Самостоятельная работа 27 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Докажите, что для любых ? справедливо равенство sin(?-?)=sin(?).
3. Вычислите (sin(11?/4)-cos(13?/4))·sin(-2,5?):cos(-25?/3).
4. Вычислите v((1-sin(?))/(1+sin(?)))+v((1+sin(?))/(1-sin(?))), если cos(?)=-2/3.

1. $$\sin \alpha=-\frac{3}{5}, \quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$

   Так как $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1,$$ то

   $$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2 \alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

2. Используем формулу:

   $$\sin(\pi-\alpha)=\sin \alpha.$$

   Следовательно, равенство верно для любых $$\alpha.$$

3. $$S=\left(\sin \frac{11\pi}{4}-\cos \frac{13\pi}{4}\right)\cdot \sin(-2{,}5\pi):\cos\left(-\frac{25\pi}{3}\right).$$

   Приведём углы к удобному виду:

   $$\sin \frac{11\pi}{4}=\sin \frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos \frac{13\pi}{4}=\cos \frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Тогда

   $$\sin \frac{11\pi}{4}-\cos \frac{13\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}.$$

   Далее:

   $$\sin(-2{,}5\pi)=\sin\left(-\frac{5\pi}{2}\right)=-1,$$

   $$\cos\left(-\frac{25\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{25\pi}{3}\right)=\cos\left(8\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}.$$

   Тогда

   $$S=\sqrt{2}\cdot(-1):\frac{1}{2}=-\sqrt{2}\cdot 2=-2\sqrt{2}.$$

4. $$S=\sqrt{\frac{1-\sin \alpha}{1+\sin \alpha}}+\sqrt{\frac{1+\sin \alpha}{1-\sin \alpha}}, \qquad \cos \alpha=-\frac{2}{3}.$$

   Объединим дроби под одним знаменателем:

   $$S=\frac{(1-\sin \alpha)+(1+\sin \alpha)}{\sqrt{(1+\sin \alpha)(1-\sin \alpha)}}=\frac{2}{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}.$$

   Так как $$1-\sin^2 \alpha=\cos^2 \alpha,$$ то

   $$S=\frac{2}{|\cos \alpha|}.$$

   Подставляем $$\cos \alpha=-\frac{2}{3}:$$

   $$S=\frac{2}{\frac{2}{3}}=3.$$

Ответ

1) $$\frac{4}{5}$$; 2) верно; 3) $$-2\sqrt{2}$$; 4) $$3$$.