Самостоятельная работа 26 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам ?, ?, ? и ? (рис. 27). Определите значения синуса и косинуса каждого из этих углов.
3. Изобразите на единичной окружности точки, соответствующие всем таким углам ?, для каждого из которых справедливо равенство:
а) sin(?)=1/2; б) sin(?)=-v2/2;
в) cos(?)=v3/2; г) cos(?)=-1.
Запишите все такие углы ?.

1. Для прямоугольного треугольника синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а косинус — отношению прилежащего катета к гипотенузе:

   $$\sin \alpha=\frac{m}{k}, \qquad \cos \alpha=\frac{n}{k}.$$

2. На единичной окружности координаты точки, соответствующей углу, равны $$\left(\cos \alpha,\sin \alpha\right).$$ Поэтому:

   $$\alpha=0,\quad \sin \alpha=0,\quad \cos \alpha=1;$$

   $$\beta=\frac{\pi}{2},\quad \sin \beta=1,\quad \cos \beta=0;$$

   $$\gamma=\pi,\quad \sin \gamma=0,\quad \cos \gamma=-1;$$

   $$\varphi=\frac{3\pi}{2},\quad \sin \varphi=-1,\quad \cos \varphi=0.$$

3. Найдём все углы, для которых выполняются заданные равенства.

   а) $$\sin \alpha=\frac12.$$

   На единичной окружности это соответствует углам

   $$\alpha=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad \alpha=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   б) $$\sin \alpha=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Тогда

   $$\alpha=\frac{5\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad \alpha=\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   в) $$\cos \alpha=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Получаем

   $$\alpha=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad \alpha=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   г) $$\cos \alpha=-1.$$

   Это возможно только при

   $$\alpha=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$\sin \alpha=\frac{m}{k},\ \cos \alpha=\frac{n}{k}.$$

2) $$\alpha=0;\ \beta=\frac{\pi}{2};\ \gamma=\pi;\ \varphi=\frac{3\pi}{2}.$$

3) а) $$\alpha=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$ или $$\alpha=\frac{5\pi}{6}+2\pi n;$$ б) $$\alpha=\frac{5\pi}{4}+2\pi n$$ или $$\alpha=\frac{7\pi}{4}+2\pi n;$$ в) $$\alpha=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n;$$ г) $$\alpha=\pi+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$