Самостоятельная работа 31 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. Для углов вида $$\arctg x$$ и $$\arcctg x$$ используем определения:

   $$\tg(\arctg x)=x,\qquad \ctg(\arcctg x)=x.$$

   Тогда:

   $$\alpha=\arctg\frac{7}{4},\quad \tg\alpha=\frac{7}{4},\quad \ctg\alpha=\frac{4}{7};$$
   $$\beta=\arctg\left(-\frac{3}{4}\right),\quad \tg\beta=-\frac{3}{4},\quad \ctg\beta=-\frac{4}{3};$$
   $$\varphi=\arcctg\left(-\frac{7}{4}\right),\quad \tg\varphi=-\frac{4}{7},\quad \ctg\varphi=-\frac{7}{4};$$
   $$\gamma=\arcctg\frac{3}{4},\quad \tg\gamma=\frac{4}{3},\quad \ctg\gamma=\frac{3}{4}.$$

2. Вычислим значения:

   $$\arctg 1=\frac{\pi}{4},\qquad \arctg\sqrt{3}=\frac{\pi}{3},$$
   $$\arcctg(-1)=\frac{3\pi}{4},\qquad \arcctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}.$$

3. Используем соотношения между тригонометрическими функциями:

   $$\tg(\arcctg x)=\frac{1}{x},\qquad \ctg(\arctg x)=\frac{1}{x}.$$

   а)
   $$\tg\left(\arcctg\frac{12}{13}\right)=\frac{13}{12};$$

   б)
   $$\ctg\left(\arctg\left(-\frac{15}{14}\right)\right)=-\frac{14}{15};$$

   в) пусть $$\alpha=\arctg\left(-\frac{4}{3}\right)$$. Тогда
   $$\tg\alpha=-\frac{4}{3},$$
   а значит,
   $$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{16}{9}}}=\frac{3}{5}.$$
   Тогда
   $$\sin\alpha=\tg\alpha\cdot\cos\alpha=-\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{5}=-\frac{4}{5}.$$
   Следовательно,
   $$\sin\left(\arctg\left(-\frac{4}{3}\right)\right)=-\frac{4}{5};$$

   г) пусть $$\alpha=\arcctg\frac{3}{4}$$. Тогда
   $$\ctg\alpha=\frac{3}{4},$$
   а значит,
   $$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{16}}}=\frac{4}{5}.$$
   Тогда
   $$\cos\alpha=\ctg\alpha\cdot\sin\alpha=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5}=\frac{3}{5}.$$
   Следовательно,
   $$\cos\left(\arcctg\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{5}.$$

4. Пусть $$\alpha=\arctg a$$. Тогда $$\tg\alpha=a$$, и

   $$\cos(\arctg a)=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2(\arctg a)}}=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}.$$

Ответ

1) $$\tg\alpha=\frac{7}{4},\ \ctg\alpha=\frac{4}{7};\ \tg\beta=-\frac{3}{4},\ \ctg\beta=-\frac{4}{3};\ \tg\varphi=-\frac{4}{7},\ \ctg\varphi=-\frac{7}{4};\ \tg\gamma=\frac{4}{3},\ \ctg\gamma=\frac{3}{4}.$$
2) $$\arctg 1=\frac{\pi}{4},\ \arctg\sqrt{3}=\frac{\pi}{3},\ \arcctg(-1)=\frac{3\pi}{4},\ \arcctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}.$$
3) $$\frac{13}{12};\ -\frac{14}{15};\ -\frac{4}{5};\ \frac{3}{5}.$$
4) $$\cos(\arctg a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}.$$