Самостоятельная работа 30 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. Вычислите $$\sin(?)$$, $$\mathrm{tg}(?)$$, $$\mathrm{ctg}(?)$$, если $$\cos(?)=-\frac{5}{13}$$, $$\frac{?}{2}
2. Вычислите $$(\mathrm{tg}(?)+\mathrm{ctg}(?))\cdot\cos(?)$$, если $$\sin(?)=0{,}4$$.
3. Докажите равенство $$\frac{(\mathrm{tg}(-?)-1)(\mathrm{ctg}(?+5?)-1)}{(\mathrm{tg}(?-4?)-1)(\mathrm{ctg}(-?)-1)}=-1$$ для тех $$?$$, для которых определена левая часть равенства.

1. Дано: $$\cos \alpha=-\frac{5}{13}, \quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$

   Так как угол $$\alpha$$ лежит во II четверти, то $$\sin \alpha>0$$:

   $$\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2 \alpha} =\sqrt{1-\frac{25}{169}} =\sqrt{\frac{144}{169}} =\frac{12}{13}.$$

   $$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{12/13}{-5/13} =-\frac{12}{5}, \qquad \ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha} =-\frac{5}{12}.$$

2. Вычислим:

   $$S=(\tg \alpha+\ctg \alpha)\cdot \cos \alpha.$$

   $$S=\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)\cos \alpha =\sin \alpha+\frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} =\frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} =\frac{1}{\sin \alpha}.$$

   Так как $$\sin \alpha=0{,}4=\frac{2}{5},$$ то

   $$S=\frac{1}{0{,}4}=2{,}5.$$

3. Докажем равенство:

   $$\frac{(\tg(-\alpha)-1)(\ctg(\alpha+5\pi)-1)}{(\tg(\alpha-4\pi)-1)(\ctg(-\alpha)-1)}=-1.$$

   Используем формулы приведения:
   $$\tg(-\alpha)=-\tg \alpha,\quad \ctg(\alpha+5\pi)=\ctg \alpha,\quad \tg(\alpha-4\pi)=\tg \alpha,\quad \ctg(-\alpha)=-\ctg \alpha.$$

   Тогда левая часть равна
   $$\frac{(-\tg \alpha-1)(\ctg \alpha-1)}{(\tg \alpha-1)(-\ctg \alpha-1)}.$$

   Вынесем минусы:
   $$\frac{-(\tg \alpha+1)(\ctg \alpha-1)}{-(\tg \alpha-1)(\ctg \alpha+1)} =\frac{(\tg \alpha+1)(\ctg \alpha-1)}{(\tg \alpha-1)(\ctg \alpha+1)}.$$

   Раскроем скобки:
   $$\frac{\tg \alpha\cdot \ctg \alpha-\tg \alpha+\ctg \alpha-1}{\tg \alpha\cdot \ctg \alpha+\tg \alpha-\ctg \alpha-1}.$$

   Так как $$\tg \alpha\cdot \ctg \alpha=1,$$ получаем

   $$\frac{1-\tg \alpha+\ctg \alpha-1}{1+\tg \alpha-\ctg \alpha-1} =\frac{\ctg \alpha-\tg \alpha}{\tg \alpha-\ctg \alpha} =-1.$$

Ответ

1) $$\sin \alpha=\frac{12}{13},\ \tg \alpha=-\frac{12}{5},\ \ctg \alpha=-\frac{5}{12};$$
2) $$2{,}5;$$
3) $$-1.$$