Самостоятельная работа 23 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) 27·2^x-8·3^x=0;
б) 2^(x+1)-2^(x-1)=3^(2-x);
в) 9·4^x-13·6^x+4·9^x=0.
2. Решите неравенство:
а) 5^(x-1) < 5·3^(x-2);
б) 3^(x+3)-2·3^(x+2) > 5^(x+2);
в) 4·16^x-7·12^x+3·9^x > 0.
а)
$$27\cdot 2^x-8\cdot 3^x=0$$
$$27\cdot 2^x=8\cdot 3^x$$
$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\left(\frac{2}{3}\right)^3$$
$$x=3$$б)
$$2^{x+1}-2^{x-1}=3^{2-x}$$
$$2\cdot 2^x-\frac12\cdot 2^x=9\cdot \frac{1}{3^x}$$
$$\frac32\cdot 2^x=\frac{9}{3^x}$$
$$6^x=6$$
$$x=1$$в)
$$9\cdot 4^x-13\cdot 6^x+4\cdot 9^x=0$$
$$9\left(\frac49\right)^x-13\left(\frac23\right)^x+4=0$$
Пусть $$y=\left(\frac23\right)^x$$, тогда $$\left(\frac49\right)^x=y^2$$. Получаем:
$$9y^2-13y+4=0$$
$$D=13^2-4\cdot 9\cdot 4=25$$
$$y_1=\frac{13-5}{18}=\frac49,\qquad y_2=\frac{13+5}{18}=1$$
Тогда
$$\left(\frac23\right)^x=\frac49 \Rightarrow x=2,$$
$$\left(\frac23\right)^x=1 \Rightarrow x=0.$$а)
$$5^{x-1}<5\cdot 3^{x-2}$$ $$\frac15\cdot 5^x<\frac59\cdot 3^x$$ $$\left(\frac53\right)^x<\frac{25}{9}=\left(\frac53\right)^2$$ $$x<2$$
б)
$$3^{x+3}-2\cdot 3^{x+2}>5^{x+2}$$
$$27\cdot 3^x-18\cdot 3^x>25\cdot 5^x$$
$$9\cdot 3^x>25\cdot 5^x$$
$$\left(\frac53\right)^x<\left(\frac53\right)^{-2}$$ $$x<-2$$в)
$$4\cdot 16^x-7\cdot 12^x+3\cdot 9^x>0$$
$$4\left(\frac{16}{9}\right)^x-7\left(\frac43\right)^x+3>0$$
Пусть $$y=\left(\frac43\right)^x$$, тогда $$\left(\frac{16}{9}\right)^x=y^2$$. Получаем:
$$4y^2-7y+3>0$$
$$D=7^2-4\cdot 4\cdot 3=1$$
$$y_1=\frac{7-1}{8}=\frac34,\qquad y_2=\frac{7+1}{8}=1$$
Тогда
$$\left(y-\frac34\right)(y-1)>0,$$
откуда
$$y<\frac34 \quad \text{или} \quad y>1.$$
Возвращаясь к $$x$$:
$$\left(\frac43\right)^x<\left(\frac43\right)^{-1}\Rightarrow x<-1,$$ $$\left(\frac43\right)^x>\left(\frac43\right)^0\Rightarrow x>0.$$
Ответ
1) а) $$3$$; б) $$1$$; в) $$0,\,2$$.
2) а) $$(-\infty;2)$$; б) $$(-\infty;-2)$$; в) $$(-\infty;-1)\cup(0;+\infty)$$.
