Самостоятельная работа 22 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) 2^x < 1/8; б) (0,2)^x?-0,2; в) (1/2)^(3x-5)?4;
г) log(2; x) > 2; д) log(0,2; x+2)?-1; е) 4^(x+2)-13·4^x > 12.
2. а) (1/9)^x-6·(1/3)^x > -9; б) 3·9^x-10·3^x+3?0;
в) lg^2(x)-lg(x)-2 < 0; г) (log(0,5; x))^2+2log(0,5; x)-3 > 0.
3. а) log(3; 4,5)/(3-log(3; x))?1; б) 9^x-2·3^x+1/(9^x-2·3^x+2) > 0;
в) (2-v3)^(2x)-4·(1/(2+v3))^x+1?0.
а) $$2^x<\frac18=\left(\frac12\right)^3=2^{-3}$$
Так как основание $$2>1$$, получаем:
$$x<-3$$
б) $$\left(0{,}2\right)^x\le -0{,}2$$
Но $$\left(0{,}2\right)^x>0$$ при любых $$x$$, значит неравенство решений не имеет.
в) $$\left(\frac12\right)^{3x-5}\ge 4$$
$$2^{5-3x}\ge 2^2$$
Так как основание $$2>1$$, то
$$5-3x\ge 2,\quad 3x\le 3,\quad x\le 1$$
г) $$\log_2 x>2$$
$$x>2^2=4$$
д) $$\log_{0{,}2}(x+2)\ge -1$$
Так как $$0<0{,}2<1$$, знак неравенства меняется:
$$0<x+2\le 0{,}2^{-1}=5$$
$$-2<x\le 3$$
е) $$4^{x+2}-13\cdot 4^x>12$$
$$16\cdot 4^x-13\cdot 4^x>12$$
$$3\cdot 4^x>12,\quad 4^x>4=4^1,\quad x>1$$
а) $$\left(\frac19\right)^x-6\left(\frac13\right)^x>-9$$
Положим $$y=\left(\frac13\right)^x>0$$. Тогда $$\left(\frac19\right)^x=y^2$$, и получаем:
$$y^2-6y+9>0$$
$$\left(y-3\right)^2>0$$
Это верно при всех $$y\ne 3$$, то есть
$$\left(\frac13\right)^x\ne 3=\left(\frac13\right)^{-1}$$
$$x\ne -1$$
б) $$3\cdot 9^x-10\cdot 3^x+3\ge 0$$
Положим $$y=3^x>0$$. Тогда $$9^x=y^2$$, и имеем:
$$3y^2-10y+3\ge 0$$
$$D=100-36=64$$
$$y_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\qquad y_2=\frac{10+8}{6}=3$$
$$\left(y-\frac13\right)(y-3)\ge 0$$
$$y\le \frac13 \ \text{или}\ y\ge 3$$
Так как $$y=3^x$$, то
$$3^x\le \frac13=3^{-1}\Rightarrow x\le -1$$
или
$$3^x\ge 3=3^1\Rightarrow x\ge 1$$
в) $$\lg^2 x-\lg x-2<0$$
Положим $$y=\lg x$$. Тогда
$$y^2-y-2<0$$
$$\left(y+1\right)\left(y-2\right)<0$$
$$-1<y<2$$
$$-1<\lg x<2$$
$$0{,}1<x<100$$
г) $$\left(\log_{0{,}5}x\right)^2+2\log_{0{,}5}x-3>0$$
Положим $$y=\log_{0{,}5}x$$. Тогда
$$y^2+2y-3>0$$
$$\left(y+3\right)\left(y-1\right)>0$$
$$y<-3 \ \text{или}\ y>1$$
Так как основание $$0<0{,}5<1$$, получаем:
$$\log_{0{,}5}x<-3 \Rightarrow x>\left(\frac12\right)^{-3}=8$$
$$\log_{0{,}5}x>1 \Rightarrow 0<x<\frac12$$
а) $$\frac{\log_3 4{,}5}{3-\log_3 x}\ge 1$$
Положим $$y=3-\log_3 x$$. Тогда нужно решить:
$$\frac{\log_3 4{,}5}{y}\ge 1,\qquad y\ne 0$$
Так как $$\log_3 4{,}5>0$$, рассматриваем два случая:
1) $$y>0$$, тогда $$\log_3 4{,}5\ge y$$, то есть
$$3-\log_3 x\le \log_3 4{,}5$$
$$\log_3 x\ge 3-\log_3 4{,}5=\log_3 27-\log_3 4{,}5=\log_3 6$$
$$x\ge 6$$
2) $$y<0$$, тогда $$\log_3 4{,}5\le y$$, что невозможно при $$y<0$$ и положительном $$\log_3 4{,}5$$.
Значит, $$x\ge 6$$. С учётом области определения $$x>0$$ и $$x\ne 27$$ получаем:
$$x\in [6;27)$$
б) $$9^x-2\cdot 3^x+\frac{1}{9^x-2\cdot 3^x+2}>0$$
Положим $$z=3^x>0$$. Тогда $$9^x=z^2$$, и неравенство принимает вид:
$$z^2-2z+\frac{1}{z^2-2z+2}>0$$
Обозначим $$t=z^2-2z$$. Тогда
$$t+\frac{1}{t+2}>0$$
$$\frac{t(t+2)+1}{t+2}>0$$
$$\frac{(t+1)^2}{t+2}>0$$
Числитель положителен при $$t\ne -1$$, а знаменатель должен быть положительным:
$$t+2>0$$
Но $$t=z^2-2z=(z-1)^2-1\ge -1$$, поэтому достаточно исключить случай $$t=-1$$, то есть
$$z^2-2z=-1,\quad (z-1)^2=0,\quad z=1$$
Следовательно, $$3^x\ne 1$$, то есть $$x\ne 0$$.
Итак,
$$x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
в) $$\left(2-\sqrt3\right)^{2x}-4\left(\frac{1}{2+\sqrt3}\right)^x+1\le 0$$
Заметим, что
$$\frac{1}{2+\sqrt3}=2-\sqrt3$$
Тогда
$$\left(2-\sqrt3\right)^{2x}-4\left(2-\sqrt3\right)^x+1\le 0$$
Положим $$y=\left(2-\sqrt3\right)^x>0$$. Получаем:
$$y^2-4y+1\le 0$$
$$D=16-4=12$$
$$y_{1,2}=2\pm \sqrt3$$
$$2-\sqrt3\le y\le 2+\sqrt3$$
Так как $$0<2-\sqrt3<1$$, функция $$\left(2-\sqrt3\right)^x$$ убывает, поэтому
$$2-\sqrt3\le \left(2-\sqrt3\right)^x\le 2+\sqrt3$$
Отсюда
$$-1\le x\le 1$$
Ответ
1) а) $$(-\infty;-3)$$; б) решений нет; в) $$(-\infty;1]$$; г) $$ (4;+\infty) $$; д) $$(-2;3]$$; е) $$(1;+\infty)$$.
2) а) $$(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$$; б) $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$; в) $$(0{,}1;100)$$; г) $$(0;0{,}5)\cup(8;+\infty)$$.
3) а) $$[6;27)$$; б) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; в) $$[-1;1]$$.
