Самостоятельная работа 21 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. а) (1/3)^x=9; б) 2^(2x-7)=8;
в) log(2; x)=3; г) log(1/2; 3x+1)=-2.
2. а) 3^(x+1)-3^x=18; б) log(2; x)+log(4; x)=6;
в) log(1/3; log(3; x))=-1.
3. а) (lg(x))^2-lg(x)=2; б) 3^(2x-3)-8·3^(x-2)=3;
в) log(2; x)-log(x; 4)=3; г) log(2; 5x-1)-3/(log(2; 5x-1)-1)+1=0;
д) 5^x-6·5^(-x)=3,8.

1. а) $$\left(\frac13\right)^x=9$$

   $$3^{-x}=3^2$$

   $$-x=2,\quad x=-2$$

   б) $$2^{2x-7}=8$$

   $$2^{2x-7}=2^3$$

   $$2x-7=3,\quad x=5$$

   в) $$\log_2 x=3$$

   $$x=2^3=8$$

   г) $$\log_{\frac12}(3x+1)=-2$$

   $$3x+1=\left(\frac12\right)^{-2}=4$$

   $$3x=3,\quad x=1$$

2. а) $$3^{x+1}-3^x=18$$

   $$3\cdot 3^x-3^x=18$$

   $$2\cdot 3^x=18,\quad 3^x=9=3^2,\quad x=2$$

   б) $$\log_2 x+\log_4 x=6$$

   $$\log_4 x=\frac12\log_2 x$$

   Пусть $$y=\log_2 x$$. Тогда

   $$y+\frac12y=6$$

   $$\frac32y=6,\quad y=4$$

   $$x=2^4=16$$

   в) $$\log_{\frac13}(\log_3 x)=-1$$

   $$\log_3 x=\left(\frac13\right)^{-1}=3$$

   $$x=3^3=27$$

3. а) $$\left(\lg x\right)^2-\lg x=2$$

   Пусть $$y=\lg x$$. Тогда

   $$y^2-y-2=0$$

   $$D=1+8=9,\quad y_1=-1,\quad y_2=2$$

   $$x=10^{-1}=0{,}1,\quad x=10^2=100$$

   б) $$3^{2x-3}-8\cdot 3^{x-2}=3$$

   $$\frac1{27}\cdot 3^{2x}-8\cdot \frac19\cdot 3^x=3$$

   Пусть $$y=3^x$$. Тогда

   $$\frac1{27}y^2-\frac89y=3$$

   $$y^2-24y-81=0$$

   $$D=24^2+4\cdot 81=900,\quad y_1=-3,\quad y_2=27$$

   Так как $$y=3^x>0$$, то $$y=27$$.

   $$3^x=27=3^3,\quad x=3$$

   в) $$\log_2 x-\log_x 4=3$$

   $$\log_x 4=\frac{2}{\log_2 x}$$

   Пусть $$y=\log_2 x$$. Тогда

   $$y-\frac{2}{y}=3$$

   $$y^2-3y-2=0$$

   $$D=9+8=17,\quad y=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}$$

   $$x=2^y=2^{\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}}$$

   г) $$\log_2(5x-1)-\frac{3}{\log_2(5x-1)-1}+1=0$$

   Пусть $$y=\log_2(5x-1)$$, тогда $$y\ne 1$$.

   $$y-\frac{3}{y-1}+1=0$$

   $$y(y-1)-3+y-1=0$$

   $$y^2-4=0,\quad y=\pm 2$$

   1) $$\log_2(5x-1)=2$$

   $$5x-1=4,\quad x=1$$

   2) $$\log_2(5x-1)=-2$$

   $$5x-1=\frac14,\quad x=\frac14$$

   д) $$5^x-6\cdot 5^{-x}=3{,}8$$

   Пусть $$y=5^x>0$$. Тогда $$5^{-x}=\frac1y$$.

   $$y-\frac{6}{y}=3{,}8$$

   $$5y^2-19y-30=0$$

   $$D=19^2+4\cdot 5\cdot 30=961,\quad y_1=-\frac65,\quad y_2=5$$

   Так как $$y>0$$, то $$y=5$$.

   $$5^x=5,\quad x=1$$

Ответ

1) а) $$-2$$; б) $$5$$; в) $$8$$; г) $$1$$.

2) а) $$2$$; б) $$16$$; в) $$27$$.

3) а) $$0{,}1; 100$$; б) $$3$$; в) $$2^{\frac{3-\sqrt{17}}{2}}; 2^{\frac{3+\sqrt{17}}{2}}$$; г) $$\frac14; 1$$; д) $$1$$.