Самостоятельная работа 29 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Определите тангенс и котангенс острого угла $$?$$ прямоугольного треугольника (рис. 34).
- На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам $$?$$, $$?$$ и $$?$$ (рис. 35). Определите значения тангенса и котангенса этих углов.
- Изобразите на единичной окружности точки, соответствующие всем таким углам $$?$$, для каждого из которых справедливо равенство: а) $$\operatorname{tg}(?)=-1$$; б) $$\operatorname{tg}(?)=-\sqrt{3}$$; в) $$\operatorname{ctg}(?)=0$$; г) $$\operatorname{ctg}(?)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$. Запишите все такие углы $$?$$.
1) Для острого угла прямоугольного треугольника по рисунку:
$$\tg \alpha=\frac{x}{y}, \qquad \ctg \alpha=\frac{y}{x}.$$
2) По точкам на единичной окружности получаем:
$$x’=\sqrt{3}, \quad \tg \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \ctg \alpha=\sqrt{3};$$
$$y’=\sqrt{3}, \quad \tg \beta=\sqrt{3}, \quad \ctg \beta=\frac{\sqrt{3}}{3};$$
$$x’=y’=1, \quad \tg \gamma=\ctg \gamma=1.$$
3) Найдём все углы, для которых выполняются данные равенства:
$$\tg \alpha=-1.$$
Тогда
$$\alpha=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
$$\tg \alpha=-\sqrt{3}.$$
Тогда
$$\alpha=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
$$\ctg \alpha=0.$$
Тогда
$$\alpha=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
$$\ctg \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Так как $$\ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha},$$ то
$$\tg \alpha=-\sqrt{3}.$$
Следовательно,
$$\alpha=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Ответ
1) $$\tg \alpha=\frac{x}{y}, \ \ctg \alpha=\frac{y}{x}.$$
2) $$\tg \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}, \ \ctg \alpha=\sqrt{3}; \quad \tg \beta=\sqrt{3}, \ \ctg \beta=\frac{\sqrt{3}}{3}; \quad \tg \gamma=\ctg \gamma=1.$$
3) а) $$\alpha=-\frac{\pi}{4}+\pi n;$$ б) $$\alpha=-\frac{\pi}{3}+\pi n;$$ в) $$\alpha=\frac{\pi}{2}+\pi n;$$ г) $$\alpha=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
