Самостоятельная работа 20 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) log(a; M·N), где M > 0, N > 0;
б) log(a; M^?), где M > 0, ??R.
2. Вычислите:
а) log(2; 8); б) log(9; 1/81); в) lg(10 000);
г) log(0,2; 5); д) log(99; 1); е) ln(e^2004).
3. Вычислите:
а) log(12; 48)+log(12; 3); б) log(11; 484)-log(11; 4);
в) 2^log(2; 5); г) log(3; 125)/log(3; 5);
д) 25^log(5; 2-v2)+9^log(3; v2+2).
4. Вычислите v((log(2; 5)+16log(5; 2)-8)·log(5; 2))+4log(5; 12,5).
5. Сравните числа:
а) log(7; 5) и log(5; 6); б) log(0,4; 9) и log(0,4; 8);
в) log(5; 7) и log(4; 7); г) log(2; 3) и log(3; 4).
6. Докажите иррациональность числа log(3; 4).
Используем свойства логарифмов:
а) $$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N,$$ где $$M>0,\ N>0.$$
б) $$\log_a(M^\alpha)=\alpha\log_a M,$$ где $$M>0,\ \alpha\in \mathbb{R}.$$
Вычислим значения:
а) $$\log_2 8=\log_2 2^3=3;$$
б) $$\log_9 \frac{1}{81}=\log_9 9^{-2}=-2;$$
в) $$\lg 10000=\lg 10^4=4;$$
г) $$\log_{0,2} 5=\log_{1/5} 5=\log_{1/5}\left(\frac{1}{5}\right)^{-1}=-1;$$
д) $$\log_{99} 1=\log_{99} 99^0=0;$$
е) $$\ln e^{2004}=2004.$$
Вычислим значения:
а) $$\log_{12}48+\log_{12}3=\log_{12}(48\cdot 3)=\log_{12}144=2;$$
б) $$\log_{11}484-\log_{11}4=\log_{11}\left(\frac{484}{4}\right)=\log_{11}121=2;$$
в) $$2^{\log_2 5}=5;$$
г) $$\frac{\log_3 125}{\log_3 5}=\log_5 125=\log_5 5^3=3;$$
д) $$25^{\log_5(2-\sqrt2)}+9^{\log_3(\sqrt2+2)}=5^{2\log_5(2-\sqrt2)}+3^{2\log_3(\sqrt2+2)}$$
$$=(2-\sqrt2)^2+(\sqrt2+2)^2=8+4=12.$$
Вычислим:
$$\sqrt{\bigl(\log_2 5+16\log_5 2-8\bigr)\cdot \log_5 2}+4\log_5 12{,}5.$$
Так как $$\log_2 5\cdot \log_5 2=1,$$ то
$$\sqrt{\log_2 5\cdot \log_5 2+16(\log_5 2)^2-8\log_5 2}+4\log_5\frac{25}{2}.$$
Положим $$x=\log_5 2.$$ Тогда $$\log_2 5=\frac{1}{x},$$ и выражение под корнем преобразуется к виду
$$1+16x^2-8x+4\log_5 25-4\log_5 2=(4x-1)^2.$$
Следовательно,
$$\sqrt{(4\log_5 2-1)^2}+4\log_5 5^2-4\log_5 2=4\log_5 2-1+8-4\log_5 2=7.$$
Сравним числа:
а) так как $$7<5<6,$$ а основание $$7>1,$$ то $$\log_7 5<1<\log_5 6,$$ значит $$\log_7 5<\log_5 6.$$
б) так как $$0<0{,}4<1,$$ функция $$\log_{0,4}x$$ убывает, а $$9>8,$$ поэтому $$\log_{0,4}9<\log_{0,4}8.$$
в) $$\log_5 7=\frac{1}{\log_7 5},\qquad \log_4 7=\frac{1}{\log_7 4}.$$
Так как $$7>5>4,$$ то $$\log_7 5>\log_7 4,$$ значит
$$\frac{1}{\log_7 5}<\frac{1}{\log_7 4},$$ то есть $$\log_5 7<\log_4 7.$$
г) $$2\log_2 3=\log_2 9,\qquad 2\log_3 4=\log_3 16.$$
Так как $$9>3,$$ то $$\log_2 9>1,$$ а так как $$16>3,$$ то $$\log_3 16>1.$$
Сравним через переход к основанию: $$\log_2 3=\frac{\ln 3}{\ln 2},\quad \log_3 4=\frac{\ln 4}{\ln 3}.$$
Поскольку $$\log_2 3>\log_3 4,$$ получаем искомое сравнение:
$$\log_2 3>\log_3 4.$$
Докажем иррациональность числа $$\log_3 4.$$
Предположим, что $$\log_3 4=\frac{p}{q},$$ где $$p,q\in \mathbb{Z},\ q>0,$$ и $$\gcd(p,q)=1.$$ Тогда
$$3^{p/q}=4,$$
откуда
$$3^p=4^q.$$
Левая часть делится только на простое число $$3,$$ а правая — только на простое число $$2.$$ Это невозможно.
Следовательно, число $$\log_3 4$$ иррационально.
Ответ
1) а) $$\log_a M+\log_a N$$; б) $$\alpha\log_a M$$.
2) а) $$3$$; б) $$-2$$; в) $$4$$; г) $$-1$$; д) $$0$$; е) $$2004$$.
3) а) $$2$$; б) $$2$$; в) $$5$$; г) $$3$$; д) $$12$$.
4) $$7$$.
5) а) $$\log_7 5<\log_5 6$$; б) $$\log_{0,4}9<\log_{0,4}8$$; в) $$\log_5 7<\log_4 7$$; г) $$\log_2 3>\log_3 4$$.
6) $$\log_3 4$$ — иррациональное число.
