Самостоятельная работа 28 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Изобразите на единичной окружности все точки, соответствующие углам $$\alpha=\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)$$, $$\beta=\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right)$$, $$\gamma=\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$$, $$\delta=\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$$.
- Вычислите:
а) $$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$$;
б) $$\arcsin(0)$$;
в) $$\arccos(1)$$;
г) $$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$. - Упростите (3–4):
а) $$\sin\left(\arcsin\left(\frac{1}{5}\right)\right)$$;
б) $$\cos\left(\arccos\left(\frac{2}{3}\right)\right)$$;
в) $$\sin\left(\arccos\left(\frac{4}{5}\right)\right)$$;
г) $$\cos\left(\arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$. - а) $$\arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\right)$$;
б) $$\arccos\left(\sin(0{,}6\pi)\right)$$;
г) $$\arcsin(\sin(3))$$.
Для углов, заданных через обратные тригонометрические функции, учитываем их области значений:
$$\alpha=\arcsin\frac13,\quad \sin\alpha=\frac13,\quad \alpha\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$
$$\beta=\arcsin\left(-\frac13\right),\quad \sin\beta=-\frac13,\quad \beta\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$
$$\varphi=\arccos\left(-\frac13\right),\quad \cos\varphi=-\frac13,\quad \varphi\in[0;\pi]$$
$$\gamma=\arccos\frac13,\quad \cos\gamma=\frac13,\quad \gamma\in[0;\pi]$$
На единичной окружности этим значениям соответствуют точки с указанными синусами и косинусами.
Вычислим значения:
$$\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}$$
$$\arcsin 0=0$$
$$\arccos 1=0$$
$$\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{5\pi}{6}$$
Упростим выражения:
$$\sin\left(\arcsin\frac15\right)=\frac15$$
$$\cos\left(\arccos\frac23\right)=\frac23$$
$$\sin\left(\arccos\frac45\right)=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac35$$
$$\cos\left(\arcsin\left(-\frac35\right)\right)=\sqrt{1-\left(-\frac35\right)^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac45$$
Упростим выражения:
$$\arcsin\left(\sin\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\pi}{5}$$
$$\arccos\left(\sin 0{,}6\pi\right)=\arccos\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-0{,}6\pi\right)\right)=\arccos\left(\cos 0{,}1\pi\right)=0{,}1\pi$$
$$\arcsin(\sin 3)=\arcsin(\sin(\pi-3))=\pi-3$$
Ответ
1) Точки на единичной окружности соответствуют углам $$\arcsin\frac13,\ \arcsin\left(-\frac13\right),\ \arccos\left(-\frac13\right),\ \arccos\frac13.$$
2) а) $$\frac{\pi}{6}$$; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$\frac{5\pi}{6}$$.
3) а) $$\frac15$$; б) $$\frac23$$; в) $$\frac35$$; г) $$\frac45$$.
4) а) $$\frac{\pi}{5}$$; б) $$0{,}1\pi$$; в) $$\pi-3$$.
