Контрольная работа 1 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
2. Решите уравнение (2x+3)/(x^2-2x)-(x-3)/(x^2+2x)=0.
3. Решите неравенство:
а) (x-2)(x+2)/(x-3) < 0;
б) (x^2-10x+25)/(x^2-4x-12)?0.
4*. а) Упростите выражение (1/(n^2-n)+1/(n^2+n)):(n+3)/(n^2-1).
б) Найдите значение полученного выражения при n=-1.
5*. Докажите справедливость неравенства:
а) x^2+y^2-2x+4y+5?0;
б) x^4-3x^2-2x+6 > 0;
в) x^2+2x+1/(x^2+2x+2)?0.
6*. Решите уравнение x^4-x^3-3x^2+4x-4=0.
7*. К двузначному числу приписали цифру 1 сначала справа, потом слева, получились два числа, разность которых равна 234. Найдите это двузначное число.
$$\left(\frac{8a}{a^2-b^2}+\frac{3}{b-a}-\frac{4}{a+b}\right):\frac{1}{5a-5b}$$
Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ и $$b-a=-(a-b),$$ получаем
$$\frac{8a}{(a-b)(a+b)}-\frac{3}{a-b}-\frac{4}{a+b}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{8a-3(a+b)-4(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{8a-3a-3b-4a+4b}{(a-b)(a+b)}=\frac{a+b}{(a-b)(a+b)}=\frac{1}{a-b}.$$
Тогда
$$\frac{1}{a-b}:\frac{1}{5a-5b}=\frac{1}{a-b}\cdot(5a-5b)=5.$$
$$\frac{2x+3}{x^2-2x}-\frac{x-3}{x^2+2x}=0$$
ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne 2,\; x\ne -2.$$
Разложим знаменатели на множители:
$$\frac{2x+3}{x(x-2)}-\frac{x-3}{x(x+2)}=0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(2x+3)(x+2)-(x-3)(x-2)}{x(x-2)(x+2)}=0.$$
Числитель равен
$$2x^2+7x+6-(x^2-5x+6)=x^2+12x=x(x+12).$$
Тогда
$$\frac{x(x+12)}{x(x-2)(x+2)}=0,$$
откуда $$x+12=0,$$ значит $$x=-12.$$
а) $$\frac{(x-2)(x+2)}{x-3}<0.$$
Критические точки: $$x=-2,\;2,\;3.$$
Знак выражения отрицателен на промежутках
$$(-\infty,-2)\cup(2,3).$$
б) $$\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12}\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$\frac{(x-5)^2}{(x-6)(x+2)}\ge 0.$$
Числитель неотрицателен при всех $$x$$ и равен нулю при $$x=5.$$
Знак дроби определяется знаменателем, поэтому
$$x\in(-\infty,-2)\cup\{5\}\cup(6,+\infty).$$
а) $$\left(\frac{1}{n^2-n}+\frac{1}{n^2+n}\right):\frac{n+3}{n^2-1}.$$
Преобразуем:
$$\frac{1}{n(n-1)}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{(n+1)+(n-1)}{n(n-1)(n+1)}=\frac{2n}{n(n^2-1)}=\frac{2}{n^2-1}.$$
Тогда
$$\frac{2}{n^2-1}:\frac{n+3}{n^2-1}=\frac{2}{n+3}.$$
б) При $$n=-1$$:
$$\frac{2}{-1+3}=\frac{2}{2}=1.$$
а) $$x^2+y^2-2x+4y+5\ge 0.$$
Дополняем до квадратов:
$$x^2-2x+1+y^2+4y+4\ge 0,$$
$$ (x-1)^2+(y+2)^2\ge 0.$$
Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство верно при любых $$x,y.$$
б) $$x^4-3x^2-2x+6>0.$$
Преобразуем:
$$x^4-4x^2+x^2-2x+1+1>0,$$
$$ (x^2-2)^2+(x-1)^2+1>0.$$
Левая часть всегда положительна.
в) $$x^2+2x+\frac{1}{x^2+2x+2}\ge 0.$$
Положим $$t=x^2+2x.$$ Тогда
$$t+\frac{1}{t+2}\ge 0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{t(t+2)+1}{t+2}\ge 0,$$
$$\frac{(t+1)^2}{t+2}\ge 0.$$
Так как $$t+2=x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0,$$ то неравенство верно.
$$x^4-x^3-3x^2+4x-4=0$$
Группируем слагаемые:
$$x^4-4x^2+x^2-4-x^3+4x=0,$$
$$x^2(x^2-4)+(x^2-4)-x(x^2-4)=0,$$
$$ (x^2-x+1)(x^2-4)=0.$$
Отсюда
$$x^2-4=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pm 2.$$
Уравнение $$x^2-x+1=0$$ действительных корней не имеет.
Пусть двузначное число равно $$10x+1,$$ а число, полученное при приписывании цифры 1 слева, равно $$100+ x.$$
По условию:
$$ (100+x)-(10x+1)=234.$$
$$99-9x=234,$$
$$9x=333,$$
$$x=37.$$
Значит, искомое двузначное число — $$37.$$
Ответ
1) $$5$$; 2) $$-12$$; 3) а) $$(-\infty,-2)\cup(2,3)$$, б) $$(-\infty,-2)\cup\{5\}\cup(6,+\infty)$$; 4) а) $$\frac{2}{n+3}$$, б) $$1$$; 5) неравенства верны при любых допустимых значениях; 6) $$x=-2,\;2$$; 7) $$37$$.
