Самостоятельная работа 19 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

б) Чему равен (n > +?)lim(x_n)?
2. Пользуясь свойствами пределов, вычислите предел:
а) (n > +?)lim((3n+2)/n); б) (n > +?)lim((3n^2+5n-7)/(2n^2-n+4));
в) (n > +?)lim((2n^2-n+7)/(n^3+3n+2)); г) (n > +?)lim((3n^3-n+13)/(n^2+7n-1));
д) (n > +?)lim(v(n^2+3n)-v(n^2+1)); е) (n > +?)lim(1+1/n)^(3n).
3. а) Докажите, что переменная x_n=5-n является бесконечно большой, пользуясь определением бесконечно большой (на языке «М-N»).
б) Чему равен (n > +?)lim(x_n)?

1. а) Преобразуем:

   $$x_n=\frac{5n+2}{n}=5+\frac{2}{n}.$$

   Здесь $$5$$ — число, а $$\frac{2}{n}$$ — бесконечно малая при $$n\to+\infty$$.

   б) Тогда

   $$\lim_{n\to+\infty} x_n=\lim_{n\to+\infty}\left(5+\frac{2}{n}\right)=5.$$

2. Вычислим пределы, используя свойства пределов:

   а)

   $$\lim_{n\to+\infty}\frac{3n+2}{n}=\lim_{n\to+\infty}\left(3+\frac{2}{n}\right)=3.$$

   б)

   $$\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2+5n-7}{2n^2-n+4} =\lim_{n\to+\infty}\frac{3+\frac{5}{n}-\frac{7}{n^2}}{2-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}} =\frac{3}{2}.$$

   в)

   $$\lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2-n+7}{n^3+3n+2} =\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}+\frac{7}{n^3}}{1+\frac{3}{n^2}+\frac{2}{n^3}} =0.$$

   г)

   $$\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^3-n+13}{n^2+7n-1} =\lim_{n\to+\infty}\frac{3-\frac{1}{n^2}+\frac{13}{n^3}}{\frac{1}{n}+\frac{7}{n^2}-\frac{1}{n^3}}=+\infty.$$

   д)

   $$\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+3n}-\sqrt{n^2+1}\right) =\lim_{n\to+\infty}\frac{(n^2+3n)-(n^2+1)}{\sqrt{n^2+3n}+\sqrt{n^2+1}}$$

   $$=\lim_{n\to+\infty}\frac{3n-1}{\sqrt{n^2+3n}+\sqrt{n^2+1}} =\lim_{n\to+\infty}\frac{3-\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} =\frac{3}{2}.$$

   е)

   $$\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3n} =\lim_{n\to+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^3=e^3.$$

3. а) Докажем, что последовательность $$x_n=5-n$$ является бесконечно большой по определению.

   Для любого $$M>0$$ нужно найти такое $$N$$, что при $$n>N$$ будет выполнено $$|x_n|>M$$.

   Имеем:

   $$|x_n|=|5-n|=n-5 \quad \text{при } n>5.$$

   Достаточно взять $$N=M+5$$. Тогда при $$n>N$$ получаем:

   $$n-5>M,$$

   значит, $$|5-n|>M$$.

   Следовательно, $$x_n=5-n$$ — бесконечно большая последовательность.

   б) Тогда

   $$\lim_{n\to+\infty} x_n=-\infty.$$

Ответ

1) а) $$x_n=5+\frac{2}{n}$$; б) $$5$$.

2) а) $$3$$; б) $$\frac{3}{2}$$; в) $$0$$; г) $$+\infty$$; д) $$\frac{3}{2}$$; е) $$e^3$$.

3) а) $$x_n=5-n$$ — бесконечно большая последовательность; б) $$-\infty$$.