Самостоятельная работа 18 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Упростите, применив формулы сокращенного умножения:
а) (m-n^(1/2))^2+(m+n^(1/2))^2; б) (m^(1/3)+2n^(1/2))^2-(m^(1/3)-2n^(1/2))^2;
в) (m^(1/4)-n^(1/2))(m^(1/4)+n^(1/2)); г) (m^(1/2)+n)(m-m^(1/2) n+n^2).
3. Вычислите (7^(1/2)-3^(1/2))^2+(7^(1/2)+3^(1/2))^2.
4. Сократите дробь (x-y)/(x^(1/2)-y^(1/2)).
5. Упростите ((a^(1/4)-b^(1/4))^(-2)+(a^(1/4)+b^(1/4))^(-2)):(a^(1/2)+b^(1/2))/(a-b).

1. Запишем степени с дробными показателями в виде корней:

   $$2^{\frac12}=\sqrt{2}, \qquad 5^{\frac13}=\sqrt[3]{5}, \qquad 3^{\frac34}=\sqrt[4]{3^3}=\sqrt[4]{27}.$$

2. Упростим выражения, используя формулы сокращённого умножения:

   а)

   $$ (m-n^{\frac12})^2+(m+n^{\frac12})^2 =\left(m^2-2mn^{\frac12}+n\right)+\left(m^2+2mn^{\frac12}+n\right) =2m^2+2n. $$

   б)

   $$ (m^{\frac13}+2n^{\frac12})^2-(m^{\frac13}-2n^{\frac12})^2 =4m^{\frac13}n^{\frac12}\cdot 2 =8m^{\frac13}n^{\frac12}. $$

   в)

   $$ (m^{\frac14}-n^{\frac12})(m^{\frac14}+n^{\frac12}) =m^{\frac12}-n. $$

   г)

   $$ (m^{\frac12}+n)(m-m^{\frac12}n+n^2) =m^{\frac32}+n^3. $$

3. Вычислим значение выражения:

   $$ (\sqrt7-\sqrt3)^2+(\sqrt7+\sqrt3)^2 =2(7+3)=20. $$

4. Сократим дробь:

   $$ \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\sqrt{x}+\sqrt{y}. $$

5. Упростим выражение:

   $$ \left((\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})^{-2}+(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})^{-2}\right):\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}. $$

   Обозначим $$u=\sqrt[4]{a}, \; v=\sqrt[4]{b}.$$ Тогда $$\sqrt{a}=u^2,\; \sqrt{b}=v^2,\; a-b=u^4-v^4=(u^2-v^2)(u^2+v^2).$$

   Имеем:

   $$ \frac{1}{(u-v)^2}+\frac{1}{(u+v)^2} =\frac{(u+v)^2+(u-v)^2}{(u-v)^2(u+v)^2} =\frac{2(u^2+v^2)}{(u^2-v^2)^2}. $$

   Тогда

   $$ \left(\frac{2(u^2+v^2)}{(u^2-v^2)^2}\right):\frac{u^2+v^2}{u^4-v^4} =\frac{2(u^2+v^2)}{(u^2-v^2)^2}\cdot\frac{u^4-v^4}{u^2+v^2} =\frac{2(u^4-v^4)}{(u^2-v^2)^2} =\frac{2(u^2+v^2)}{u^2-v^2}. $$

   Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем:

   $$ \frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}. $$

Ответ

1) $$\sqrt2,\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{27}$$; 2) а) $$2m^2+2n$$, б) $$8m^{\frac13}n^{\frac12}$$, в) $$m^{\frac12}-n$$, г) $$m^{\frac32}+n^3$$; 3) $$20$$; 4) $$\sqrt{x}+\sqrt{y}$$; 5) $$\dfrac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$$.