Самостоятельная работа 17 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Сравните числа 2004^(1/4)-2003^(1/3) и 2005^(1/4)-2002^(1/3).
3. Докажите, что функция y=(5x+7)^(1/3) возрастающая.
4. Решите уравнение (15x-3)^(1/3)+v(2+x)=(127-x)^(1/3).

1. Сравним числа $$\sqrt[3]{7}$$ и $$\sqrt[4]{13}$$, возведя их в общую степень $$12$$:

   $$\sqrt[3]{7}=\sqrt[12]{7^4}=\sqrt[12]{2401},$$
   $$\sqrt[4]{13}=\sqrt[12]{13^3}=\sqrt[12]{2197}.$$

   Так как $$2401>2197$$, то

   $$\sqrt[3]{7}>\sqrt[4]{13}.$$

2. Сравним числа $$\sqrt[4]{2004}-\sqrt[3]{2003}$$ и $$\sqrt[4]{2005}-\sqrt[3]{2002}$$.

   Имеем:

   $$\sqrt[4]{2004}<\sqrt[4]{2005},$$
   $$\sqrt[3]{2003}>\sqrt[3]{2002}.$$

   Тогда

   $$\sqrt[4]{2004}-\sqrt[3]{2003}<\sqrt[4]{2005}-\sqrt[3]{2002}.$$

3. Рассмотрим функцию $$y=\sqrt[3]{5x+7}.$$

   Пусть $$x_2>x_1$$, $$x_1,x_2\in D(y)$$. Тогда

   $$5x_2>5x_1,$$
   $$5x_2+7>5x_1+7.$$

   Так как функция $$\sqrt[3]{t}$$ возрастает, то

   $$\sqrt[3]{5x_2+7}>\sqrt[3]{5x_1+7}.$$

   Следовательно, $$y_2>y_1$$, значит, функция $$y=\sqrt[3]{5x+7}$$ возрастает.

4. Решим уравнение

   $$\sqrt[3]{15x-3}+\sqrt{2+x}=\sqrt[3]{127-x}.$$

   Область определения:

   $$2+x\ge 0,\quad x\ge -2.$$

   Рассмотрим функции

   $$f(x)=\sqrt[3]{15x-3}+\sqrt{2+x}, \qquad g(x)=\sqrt[3]{127-x}.$$

   Функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Значит, уравнение может иметь не более одного корня.

   Проверим $$x=2$$:

   $$\sqrt[3]{15\cdot 2-3}+\sqrt{2+2}=\sqrt[3]{30-3}+2=\sqrt[3]{27}+2=3+2=5,$$

   $$\sqrt[3]{127-2}=\sqrt[3]{125}=5.

   Следовательно, $$x=2$$ — корень уравнения, и он единственный.

Ответ

1) $$\sqrt[3]{7}>\sqrt[4]{13}$$; 2) $$\sqrt[4]{2004}-\sqrt[3]{2003}<\sqrt[4]{2005}-\sqrt[3]{2002}$$; 3) функция $$y=\sqrt[3]{5x+7}$$ возрастает; 4) $$x=2$$.