Самостоятельная работа 15 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
2. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение x^2+(a+1)x+9=0 имеет два различных корня, больших 2.
3. Найдите все значения а, при каждом из которых не имеет решений система неравенств {x^2-(6a-4)x+9a^2-12a?0, |4x-5a|?2}.
4. Найдите все значения а, при каждом из которых один из корней уравнения x^2-(3a-2)x+2a^2-a-3=0 положительный, а другой заключен между числами -2 и -1.
Чтобы неравенство
$$x^2+(2a+1)x-\frac a4>0$$
выполнялось при любом действительном $$x$$, квадратный трехчлен должен быть строго положительным для всех $$x$$. Так как старший коэффициент равен $$1>0$$, достаточно потребовать, чтобы дискриминант был отрицательным:
$$D=(2a+1)^2-4\cdot 1\cdot\left(-\frac a4\right)<0$$
$$4a^2+4a+1+a<0$$
$$4a^2+5a+1<0$$
$$D_1=5^2-4\cdot 4\cdot 1=25-16=9$$
$$a_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{8}$$
$$a_1=-1,\quad a_2=-\frac14$$
Следовательно,
$$-1<a<-\frac14$$
Уравнение
$$x^2+(a+1)x+9=0$$
имеет два различных корня, больших $$2$$, если выполняются условия:
$$D=(a+1)^2-36>0$$
$$a^2+2a-35>0$$
$$D_1=2^2+4\cdot 35=144$$
$$a_{1,2}=\frac{-2\pm 12}{2}$$
$$a_1=-7,\quad a_2=5$$
Отсюда
$$a<-7 \quad \text{или} \quad a>5$$
Кроме того, вершина параболы должна быть правее точки $$x=2$$, то есть
$$x_0=-\frac{a+1}{2}>2$$
$$a<-5$$
Совмещая условия, получаем
$$a<-7$$
Система не имеет решений, если множества решений её неравенств не пересекаются.
Рассмотрим первое неравенство:
$$x^2-(6a-4)x+9a^2-12a\ge 0$$
Его дискриминант равен
$$D=(6a-4)^2-4(9a^2-12a)=16$$
Корни:
$$x_{1,2}=\frac{6a-4\pm 4}{2}$$
$$x_1=3a-4,\quad x_2=3a$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$x\le 3a-4 \quad \text{или} \quad x\ge 3a$$
Второе неравенство:
$$|4x-5a|\le 2$$
$$-2\le 4x-5a\le 2$$
$$\frac{5a-2}{4}\le x\le \frac{5a+2}{4}$$
Чтобы система не имела решений, достаточно, чтобы этот отрезок целиком лежал между числами $$3a-4$$ и $$3a$$, то есть
$$3a-4<\frac{5a-2}{4}$$
$$3a>\frac{5a+2}{4}$$
Из первого неравенства:
$$12a-16<5a-2$$
$$7a<14$$
$$a<2$$
Из второго неравенства:
$$12a>5a+2$$
$$7a>2$$
$$a>\frac27$$
Итак,
$$\frac27<a<2$$
Пусть корни уравнения
$$x^2-(3a-2)x+2a^2-a-3=0$$
равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда
$$D=(3a-2)^2-4(2a^2-a-3)$$
$$D=9a^2-12a+4-8a^2+4a+12$$
$$D=(a-4)^2$$
$$x_1=\frac{3a-2-(a-4)}{2}=a+1$$
$$x_2=\frac{3a-2+(a-4)}{2}=2a-3$$
По условию один корень положительный, а другой лежит между $$-2$$ и $$-1$$.
1-й случай: $$a+1>0$$ и $$-2<2a-3<-1$$.
$$a>-1$$
$$1<2a<2$$
$$\frac12<a<1$$
2-й случай: $$2a-3>0$$ и $$-2<a+1<-1$$.
$$a>\frac32$$
$$-3<a<-2$$
Этот случай невозможен.
Значит,
$$\frac12<a<1$$
Ответ
1) $$(-1;\,-\frac14)$$
2) $$(-\infty;\,-7)$$
3) $$\left(\frac27;\,2\right)$$
4) $$\left(\frac12;\,1\right)$$
