Самостоятельная работа 14 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) 2v(x-3)=x-6;
б) (vx+1)/(vx-1)-(vx+3)/vx=2;
в) v((x+1)/x)-3v(x/(x+1))-2=0.
2. Решите неравенство:
а) v(2x-1) > 2x-3;
б) (3x-2)/(2x-3)-v((3x-2)/(2x-3))-6?0;
в) v((3x-2)/(x+1))-10v((x+1)/(3x-2))?0.
а) Пусть $$y=\sqrt{x-3}$$, тогда $$x=y^2+3$$. Получаем:
$$2y=y^2+3-6$$
$$y^2-2y-3=0$$
$$ (y-3)(y+1)=0 $$
$$y=3 \text{ или } y=-1$$
Так как $$y=\sqrt{x-3}\ge 0$$, подходит только $$y=3$$. Тогда
$$x=3^2+3=12$$
б) Пусть $$y=\sqrt{x}$$, тогда $$x=y^2$$. Имеем:
$$\frac{y+1}{y-1}-\frac{y+3}{y}=2$$
Умножим на $$y(y-1)$$:
$$y(y+1)-(y-1)(y+3)=2y(y-1)$$
$$y^2+y-(y^2+2y-3)=2y^2-2y$$
$$3-y=2y^2-2y$$
$$2y^2-y-3=0$$
$$D=1+24=25$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4}$$
$$y_1=-1,\quad y_2=\frac{3}{2}$$
Так как $$y=\sqrt{x}\ge 0$$, получаем $$y=\frac{3}{2}$$. Тогда
$$x=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2{,}25$$
в) Пусть $$y=\sqrt{\frac{x+1}{x}}$$, тогда $$\frac{x+1}{x}=y^2$$ и $$\sqrt{\frac{x}{x+1}}=\frac{1}{y}$$. Получаем:
$$y-\frac{3}{y}-2=0$$
$$y^2-2y-3=0$$
$$ (y-3)(y+1)=0 $$
$$y=3 \text{ или } y=-1$$
Так как $$y\ge 0$$, берём $$y=3$$. Тогда
$$\sqrt{\frac{x+1}{x}}=3$$
$$\frac{x+1}{x}=9$$
$$x+1=9x$$
$$8x=1$$
$$x=\frac{1}{8}$$
а) Пусть $$y=2x-1$$, тогда неравенство принимает вид:
$$\sqrt{y}>y-2$$
$$\sqrt{y}-y+2>0$$
Положим $$t=\sqrt{y}\ge 0$$, тогда $$y=t^2$$:
$$t>t^2-2$$
$$t^2-t-2<0$$
$$ (t-2)(t+1)<0 $$
$$0\le t<2$$
Значит, $$0\le y<4$$, то есть
$$0\le 2x-1<4$$
$$x\ge \frac12,\quad x<\frac52$$
Ответ: $$\left[\frac12;\frac52\right)$$.
б) Пусть $$y=\sqrt{\frac{3x-2}{2x-3}}$$, тогда
$$y-\frac{6}{y}\ge 0$$
$$y^2-6\ge 0$$
$$ (y- \sqrt6)(y+\sqrt6)\ge 0 $$
Так как $$y\ge 0$$, получаем $$y\ge \sqrt6$$. Тогда
$$\frac{3x-2}{2x-3}\ge 6$$
$$3x-2\ge 12x-18$$
$$16\ge 9x$$
$$x\le \frac{16}{9}$$
С учётом области определения $$2x-3\ne 0$$ и условия $$\frac{3x-2}{2x-3}\ge 0$$ получаем
$$\frac32<x\le \frac53$$
Ответ: $$\left(\frac32;\frac53\right]$$.
в) Пусть $$y=\sqrt{\frac{3x-2}{x+1}}$$, тогда $$\sqrt{\frac{x+1}{3x-2}}=\frac{1}{y}$$. Имеем:
$$y-\frac{10}{y}+3\ge 0$$
$$y^2+3y-10\ge 0$$
$$ (y+5)(y-2)\ge 0 $$
Так как $$y\ge 0$$, то $$y\ge 2$$. Следовательно,
$$\frac{3x-2}{x+1}\ge 4$$
$$3x-2\ge 4x+4$$
$$-x\ge 6$$
$$x\le -6$$
С учётом области определения $$\frac{3x-2}{x+1}\ge 0$$ получаем $$x<-1$$. Значит,
$$x\le -6$$.
Ответ: $$(-\infty;-6]$$.
Ответ
1) а) $$12$$; б) $$2{,}25$$; в) $$\frac18$$. 2) а) $$\left[\frac12;\frac52\right)$$; б) $$\left(\frac32;\frac53\right]$$; в) $$(-\infty;-6]$$.
