Самостоятельная работа 13 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. (x^2+2x)^2-2(x+1)^2-1?0.
2. (x+2)(x+4)^2 (x+6)?-3.
3. x^2-x-8+12/(x^2-x)?0.
$$ (x^2+2x)^2-2(x+1)^2-1\le 0 $$
Обозначим $$y=x^2+2x$$. Тогда
$$ y^2-2(y+1)-1\le 0 $$
$$ y^2-2y-3\le 0 $$
$$ (y+1)(y-3)\le 0,\quad -1\le y\le 3 $$
1) $$x^2+2x\ge -1$$, то есть
$$ x^2+2x+1\ge 0 $$
$$ (x+1)^2\ge 0 $$
Это верно при любых $$x$$.
2) $$x^2+2x\le 3$$, то есть
$$ x^2+2x-3\le 0 $$
$$ (x+3)(x-1)\le 0 $$
$$ -3\le x\le 1 $$
Пересечение условий даёт:
$$ x\in[-3;1] $$
$$ (x+2)(x+4)^2(x+6)\le -3 $$
Раскроем скобки группировкой:
$$ (x^2+8x+12)(x^2+8x+16)\le -3 $$
Обозначим $$y=x^2+8x$$. Тогда
$$ (y+12)(y+16)\le -3 $$
$$ y^2+28y+192\le -3 $$
$$ y^2+28y+195\le 0 $$
$$ (y+15)(y+13)\le 0,\quad -15\le y\le -13 $$
1) $$x^2+8x\ge -15$$, то есть
$$ x^2+8x+15\ge 0 $$
$$ (x+5)(x+3)\ge 0 $$
$$ x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge -3 $$
2) $$x^2+8x\le -13$$, то есть
$$ x^2+8x+13\le 0 $$
$$ D=8^2-4\cdot 13=12 $$
$$ x=\frac{-8\pm\sqrt{12}}{2}=-4\pm\sqrt{3} $$
$$ -4-\sqrt{3}\le x\le -4+\sqrt{3} $$
Пересечение условий:
$$ x\in[-4-\sqrt{3};-5]\cup[-3;\sqrt{3}-4] $$
$$ x^2-x-8+\frac{12}{x^2-x}\ge 0 $$
Пусть $$y=x^2-x$$, тогда $$y\ne 0$$ и
$$ y-8+\frac{12}{y}\ge 0 $$
$$ \frac{y^2-8y+12}{y}\ge 0 $$
$$ \frac{(y-2)(y-6)}{y}\ge 0 $$
Отсюда
$$ y\in(0;2]\cup[6;+\infty) $$
Рассмотрим случаи.
1) $$0<x^2-x\le 2$$.
$$ x(x-1)>0 $$
$$ x<0 \quad \text{или} \quad x>1 $$
и
$$ x^2-x-2\le 0 $$
$$ (x+1)(x-2)\le 0 $$
$$ -1\le x\le 2 $$
Пересечение даёт:
$$ x\in[-1;0)\cup(1;2] $$
2) $$x^2-x\ge 6$$.
$$ x^2-x-6\ge 0 $$
$$ (x-3)(x+2)\ge 0 $$
$$ x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 3 $$
Итак,
$$ x\in(-\infty;-2]\cup[-1;0)\cup(1;2]\cup[3;+\infty) $$
Ответ
1) $$[-3;1]$$
2) $$[-4-\sqrt{3};-5]\cup[-3;\sqrt{3}-4]$$
3) $$(-\infty;-2]\cup[-1;0)\cup(1;2]\cup[3;+\infty)$$
