Самостоятельная работа 12 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. а) (x-2)(x+3)(x-4) > 0; б) (x-1)(x+2)/(x-5)^2?0.
2. а) (2x-1)/(x+3)?1; б) x/(x+3)-3/(x-1)+13/(x^2+2x-3)?0.
3. Решите систему неравенств:
а) {x^2-x-12 < 0, x^2-4x+3?0}; б) {x^2+x-2?0, (x+2)/(x-4)?0}; в) {|x|?2, x^2-x-6?0}.

1. а) $$ (x-2)(x+3)(x-4)>0 $$

   Нули выражения: $$x=-3,\; x=2,\; x=4.$$

   Рассматриваем знаки на промежутках. Произведение положительно при

   $$(-3;2)\cup(4;+\infty).$$

   б) $$ \frac{(x-1)(x+2)}{(x-5)^2}\le 0 $$

   Так как $$ (x-5)^2>0 $$ при $$x\ne 5,$$ знак дроби определяется числителем. Тогда

   $$ (x-1)(x+2)\le 0,\quad x\ne 5.$$

   Отсюда

   $$[-2;1].$$

2. а) $$ \frac{2x-1}{x+3}\ge 1 $$

   Перенесём 1 в левую часть:

   $$ \frac{2x-1}{x+3}-1\ge 0 $$
   $$ \frac{2x-1-(x+3)}{x+3}\ge 0 $$
   $$ \frac{x-4}{x+3}\ge 0. $$

   Критические точки: $$x=-3,\; x=4.$$ Тогда

   $$(-\infty;-3)\cup[4;+\infty).$$

   б) $$ \frac{x}{x+3}-\frac{3}{x-1}+\frac{13}{x^2+2x-3}\le 0 $$

   Разложим знаменатель:

   $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1).$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{x(x-1)-3(x+3)+13}{(x+3)(x-1)}\le 0 $$
   $$ \frac{x^2-x-3x-9+13}{(x+3)(x-1)}\le 0 $$
   $$ \frac{x^2-4x+4}{(x+3)(x-1)}\le 0 $$
   $$ \frac{(x-2)^2}{(x+3)(x-1)}\le 0. $$

   Так как числитель неотрицателен, неравенство выполняется при отрицательном знаменателе и при $$x=2$$. С учётом ОДЗ $$x\ne -3,\; x\ne 1$$ получаем

   $$(-3;1).$$

3. а) $$ \begin{cases} x^2-x-12<0, \\ x^2-4x+3\ge 0. \end{cases} $$

   $$ x^2-x-12=(x-4)(x+3)<0 \Rightarrow -3<x<4, $$
   $$ x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\ge 0 \Rightarrow x\le 1 \text{ или } x\ge 3. $$

   Пересечение:

   $$(-3;1]\cup[3;4).$$

   б) $$ \begin{cases} x^2+x-2\ge 0, \\ \dfrac{x+2}{x-4}\le 0. \end{cases} $$

   $$ x^2+x-2=(x+2)(x-1)\ge 0 \Rightarrow x\le -2 \text{ или } x\ge 1, $$
   $$ \frac{x+2}{x-4}\le 0 \Rightarrow -2\le x<4. $$

   Пересечение:

   $$\{-2\}\cup[1;4).$$

   в) $$ \begin{cases} |x|\le 2, \\ x^2-x-6\ge 0. \end{cases} $$

   $$ -2\le x\le 2, $$
   $$ x^2-x-6=(x-3)(x+2)\ge 0 \Rightarrow x\le -2 \text{ или } x\ge 3. $$

   Пересечение:

   $$\{-2\}.$$

Ответ

1) а) $$(-3;2)\cup(4;+\infty)$$; б) $$[-2;1]$$.
2) а) $$(-\infty;-3)\cup[4;+\infty)$$; б) $$(-3;1)$$.
3) а) $$(-3;1]\cup[3;4)$$; б) $$\{-2\}\cup[1;4)$$; в) $$\{-2\}$$.