Самостоятельная работа 11 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) A(x)=2x^3-5x^2+5x-2, B(x)=x^2-x-1;
б) A(x)=x^4+2x^3-13x^2-14x+24, B(x)=x^2+x-2.
2. С помощью схемы Горнера разделите многочлен А(х) на многочлен В(х), укажите неполное частное Q(x) и остаток В(х), если A(x)=4x^4-5x^2-14, B(x)=x+2.
3. С помощью теоремы Безу определите остаток R(x) от деления многочлена А(х) на многочлен В(х), если:
а) A(x)=3x^3-4x^2-2x+1, B(x)=x-1;
б) A(x)=(x+2)^9, B(x)=x+1.
4. Многочлен P_3(x)=x^3+ax^2+bx+12 при делении на (x-1) дает в остатке 6, а при делении на (x+1) дает в остатке 12. Определите коэффициенты a и b.
5. Решите уравнение:
а) 2x^3-5x^2-4x+3=0;
б) x^4-5x^3+5x^2+5x-6=0.

1. Выполним деление многочленов.

   а)

   $$2x^3-5x^2+5x-2=(x^2-x-1)(2x-3)+(4x-5).$$

   Значит, $$Q(x)=2x-3,$$ $$R(x)=4x-5.$$

   б)

   $$x^4+2x^3-13x^2-14x+24=(x^2+x-2)(x^2+x-12).$$

   Значит, $$Q(x)=x^2+x-12,$$ $$R(x)=0.$$

2. Разделим многочлен $$A(x)=4x^4-5x^2-14$$ на $$x+2$$ по схеме Горнера.

   Коэффициенты многочлена: $$4,\ 0,\ -5,\ 0,\ -14.$$

   При $$x=-2$$ получаем коэффициенты частного: $$4,\ -8,\ 11,\ -22,$$ остаток $$30.$$

   Следовательно,

   $$Q(x)=4x^3-8x^2+11x-22,$$
   $$R(x)=30.$$

3. По теореме Безу остаток при делении на $$x-a$$ равен $$A(a).$$

   а)

   $$R=A(1)=3\cdot 1^3-4\cdot 1^2-2\cdot 1+1=-2.$$

   б)

   $$R=A(-1)=(-1+2)^9=1.$$

4. Так как при делении на $$x-1$$ остаток равен 6, а при делении на $$x+1$$ остаток равен 12, то

   $$P_3(1)=1+a+b+12=6,$$
   $$P_3(-1)=-1+a-b+12=12.$$

   Получаем систему:

   $$a+b=-7,$$
   $$a-b=1.$$

   Складываем уравнения:

   $$2a=-6,\quad a=-3.$$

   Тогда

   $$-3+b=-7,\quad b=-4.$$

5. а)

   $$2x^3-5x^2-4x+3=0.$$

   Проверим корень $$x=-1$$:

   $$2(-1)^3-5(-1)^2-4(-1)+3=0.$$

   Тогда

   $$(x+1)(2x^2-7x+3)=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 3=25,$$
   $$x=\frac{7\pm 5}{4}.$$

   Отсюда

   $$x_1=\frac12,\quad x_2=3.$$

   Итак, $$x=-1,\ \frac12,\ 3.$$

   б)

   $$x^4-5x^3+5x^2+5x-6=0.$$

   Проверим корень $$x=1$$:

   $$1-5+5+5-6=0.$$

   Проверим корень $$x=-1$$:

   $$1+5+5-5-6=0.$$

   Значит,

   $$(x-1)(x+1)(x^2-5x+6)=0.$$

   Разложим квадратный трёхчлен:

   $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

   Следовательно,

   $$(x-1)(x+1)(x-2)(x-3)=0.$$

   Корни:

   $$x=-1,\ 1,\ 2,\ 3.$$

Ответ

1) а) $$Q(x)=2x-3,$$ $$R(x)=4x-5$$; б) $$Q(x)=x^2+x-12,$$ $$R(x)=0$$.
2) $$Q(x)=4x^3-8x^2+11x-22,$$ $$R(x)=30$$.
3) а) $$-2$$; б) $$1$$.
4) $$a=-3,$$ $$b=-4$$.
5) а) $$x=-1,\ \frac12,\ 3$$; б) $$x=-1,\ 1,\ 2,\ 3$$.