Самостоятельная работа 10 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) (x-1)^5; б) (x+2)^4.
2. Вычислите коэффициент при a^4 в разложении выражения (a+1/a)^10 по формуле бинома Ньютона.
3. Вычислите сумму коэффициентов C(9; 0)+C(9; 1)+C(9; 2)+C(9; 3)+…+C(9; 9).
4. Сколько рациональных членов содержит разложение (v3+v7)^100 по формуле бинома Ньютона?

1. По формуле бинома Ньютона:

   $$(x-1)^5=x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1$$

   $$(x+2)^4=x^4+4x^3\cdot 2+6x^2\cdot 2^2+4x\cdot 2^3+2^4$$

   $$=(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$$

2. Найдём коэффициент при $$a^4$$ в разложении $$\left(a+\frac{1}{a}\right)^{10}$$.

   Общий член разложения:
   $$C_{10}^k a^{10-k}\left(\frac{1}{a}\right)^k=C_{10}^k a^{10-2k}$$

   Требуется, чтобы
   $$10-2k=4$$
   откуда
   $$k=3.$$

   Тогда искомый коэффициент:
   $$C_{10}^3=\frac{10!}{3!\,7!}=120.$$

3. Сумма коэффициентов:

   $$C_9^0+C_9^1+C_9^2+\cdots+C_9^9=(1+1)^9=2^9=512.$$

4. В разложении $$\left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)^{100}$$ общий член имеет вид

   $$C_{100}^k(\sqrt{3})^{100-k}(\sqrt{7})^k.$$

   Член будет рациональным, если степени корней чётные:

   $$100-k \text{ — чётное}, \quad k \text{ — чётное}.$$

   Так как $$100$$ — чётное число, то достаточно брать чётные значения $$k$$:

   $$k=0,2,4,\ldots,100.$$

   Количество таких значений:

   $$N=\frac{100}{2}+1=51.$$

Ответ

1) $$x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1$$; $$x^4+8x^3+24x^2+32x+16$$
2) $$120$$
3) $$512$$
4) $$51$$