Самостоятельная работа 18 Вариант 1 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Запишите в виде корня: $$2^{1/2}$$; $$5^{1/3}$$; $$3^{3/4}$$.
- Упростите, применив формулы сокращённого умножения:
а) $$(m-n^{1/2})^2+(m+n^{1/2})^2$$;
б) $$(m^{1/3}+2n^{1/2})^2-(m^{1/3}-2n^{1/2})^2$$;
в) $$(m^{1/4}-n^{1/2})(m^{1/4}+n^{1/2})$$;
г) $$(m^{1/2}+n)(m-m^{1/2}n+n^2)$$. - Вычислите $$(7^{1/2}-3^{1/2})^2+(7^{1/2}+3^{1/2})^2$$.
- Сократите дробь $$\frac{x-y}{x^{1/2}-y^{1/2}}$$.
- Упростите $$\left((a^{1/4}-b^{1/4})^{-2}+(a^{1/4}+b^{1/4})^{-2}\right):\frac{a^{1/2}+b^{1/2}}{a-b}$$.
Запишем степени с дробными показателями в виде корней:
$$2^{\frac12}=\sqrt{2}, \qquad 5^{\frac13}=\sqrt[3]{5}, \qquad 3^{\frac34}=\sqrt[4]{3^3}=\sqrt[4]{27}.$$
Упростим выражения, используя формулы сокращённого умножения:
а)
$$(m-n^{\frac12})^2+(m+n^{\frac12})^2 =\left(m^2-2mn^{\frac12}+n\right)+\left(m^2+2mn^{\frac12}+n\right) =2m^2+2n.$$
б)
$$(m^{\frac13}+2n^{\frac12})^2-(m^{\frac13}-2n^{\frac12})^2 =4m^{\frac13}n^{\frac12}\cdot 2 =8m^{\frac13}n^{\frac12}.$$
в)
$$(m^{\frac14}-n^{\frac12})(m^{\frac14}+n^{\frac12}) =m^{\frac12}-n.$$
г)
$$(m^{\frac12}+n)(m-m^{\frac12}n+n^2) =m^{\frac32}+n^3.$$
Вычислим значение выражения:
$$(\sqrt7-\sqrt3)^2+(\sqrt7+\sqrt3)^2 =2(7+3)=20.$$
Сократим дробь:
$$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\sqrt{x}+\sqrt{y}.$$
Упростим выражение:
$$\left((\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})^{-2}+(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})^{-2}\right):\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}.$$
Обозначим $$u=\sqrt[4]{a}, \; v=\sqrt[4]{b}.$$ Тогда $$\sqrt{a}=u^2,\; \sqrt{b}=v^2,\; a-b=u^4-v^4=(u^2-v^2)(u^2+v^2).$$
Имеем:
$$\frac{1}{(u-v)^2}+\frac{1}{(u+v)^2} =\frac{(u+v)^2+(u-v)^2}{(u-v)^2(u+v)^2} =\frac{2(u^2+v^2)}{(u^2-v^2)^2}.$$
Тогда
$$\left(\frac{2(u^2+v^2)}{(u^2-v^2)^2}\right):\frac{u^2+v^2}{u^4-v^4} =\frac{2(u^2+v^2)}{(u^2-v^2)^2}\cdot\frac{u^4-v^4}{u^2+v^2} =\frac{2(u^4-v^4)}{(u^2-v^2)^2} =\frac{2(u^2+v^2)}{u^2-v^2}.$$
Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем:
$$\frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.$$
Ответ
1) $$\sqrt2,\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{27}$$; 2) а) $$2m^2+2n$$, б) $$8m^{\frac13}n^{\frac12}$$, в) $$m^{\frac12}-n$$, г) $$m^{\frac32}+n^3$$; 3) $$20$$; 4) $$\sqrt{x}+\sqrt{y}$$; 5) $$\dfrac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$$.
