Упражнение 96 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\le 2,$$
   $$x\ne 0,\quad 1+\frac{1}{x}\ne 0 \Rightarrow x\ne -1.$$
   Преобразуем:
   $$\frac{x}{x+1}\le 2,$$
   $$\frac{x-2x-2}{x+1}\le 0,$$
   $$\frac{-x-2}{x+1}\le 0.$$
   По методу интервалов:
   $$x\in(-\infty,-2]\cup(-1,+\infty).$$

2. $$\frac{1}{1-\frac{1}{x}}\le 2,$$
   $$x\ne 0,\quad 1-\frac{1}{x}\ne 0 \Rightarrow x\ne 1.$$
   Преобразуем:
   $$\frac{x}{x-1}\le 2,$$
   $$\frac{x-2x+2}{x-1}\le 0,$$
   $$\frac{-x+2}{x-1}\le 0.$$
   По методу интервалов:
   $$x\in(-\infty,1)\cup[2,+\infty).$$

3. $$\frac{x^2+1}{x}<\frac{1}{x}-1,$$ $$x\ne 0.$$ Перенесём всё в левую часть: $$\frac{x^2+1}{x}-\frac{1}{x}+1<0,$$ $$\frac{x^2+x}{x}<0,$$ $$x+1<0.$$ С учётом ОДЗ получаем: $$x\in(-\infty,-1).$$

4. $$3x^4+4\le 13x^2.$$
   Обозначим $$t=x^2$$, тогда $$t\ge 0$$ и
   $$3t^2-13t+4\le 0.$$
   Найдём корни:
   $$D=13^2-4\cdot 3\cdot 4=169-48=121,$$
   $$t_{1,2}=\frac{13\pm 11}{6},$$
   $$t_1=4,\quad t_2=\frac13.$$
   Тогда
   $$3\left(t-4\right)\left(t-\frac13\right)\le 0,$$
   $$\frac13\le t\le 4.$$
   Возвращаемся к $$x$$:
   $$\frac13\le x^2\le 4,$$
   откуда
   $$x\in\left[-2,-\frac{1}{\sqrt3}\right]\cup\left[\frac{1}{\sqrt3},2\right].$$

Ответ

1) $$(-\infty,-2]\cup(-1,+\infty)$$;
2) $$(-\infty,1)\cup[2,+\infty)$$;
3) $$(-\infty,-1)$$;
4) $$\left[-2,-\frac{1}{\sqrt3}\right]\cup\left[\frac{1}{\sqrt3},2\right]$$.