Упражнение 95 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\frac{x}{x-1}\le \frac{x-2}{x}$$

   Перенесём всё в одну сторону:
   $$\frac{x}{x-1}-\frac{x-2}{x}\le 0$$
   $$\frac{x^2-(x-2)(x-1)}{x(x-1)}\le 0$$
   $$\frac{x^2-(x^2-3x+2)}{x(x-1)}\le 0$$
   $$\frac{3x-2}{x(x-1)}\le 0$$

   Критические точки: $$x=0,\ \frac23,\ 1.$$ По знакам дроби получаем:
   $$x\in(-\infty;0)\cup\left[\frac23;1\right).$$

2. $$\frac{2x}{x^2-4}\le \frac{1}{x+1}$$

   Перенесём влево:
   $$\frac{2x}{x^2-4}-\frac{1}{x+1}\le 0$$
   $$\frac{2x(x+1)-(x^2-4)}{(x^2-4)(x+1)}\le 0$$
   $$\frac{2x^2+2x-x^2+4}{(x-2)(x+2)(x+1)}\le 0$$
   $$\frac{x^2+2x+4}{(x-2)(x+2)(x+1)}\le 0$$

   Так как $$x^2+2x+4>0$$ при всех $$x,$$ то
   $$\frac{1}{(x-2)(x+2)(x+1)}\le 0,$$
   откуда
   $$(x-2)(x+2)(x+1)<0.$$

   По знакам:
   $$x\in(-\infty;-2)\cup(-1;2).$$

3. $$\frac{4}{(x-1)^2}\ge 1$$

   Перенесём всё в одну сторону:
   $$\frac{4-(x-1)^2}{(x-1)^2}\ge 0$$
   $$\frac{4-(x^2-2x+1)}{(x-1)^2}\ge 0$$
   $$\frac{-x^2+2x+3}{(x-1)^2}\ge 0$$
   $$\frac{-(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\ge 0.$$

   Так как $$ (x-1)^2>0 $$ при $$x\ne 1,$$ то достаточно решить
   $$-(x-3)(x+1)\ge 0,$$
   то есть
   $$(x-3)(x+1)\le 0.$$

   С учётом ОДЗ $$x\ne 1$$ получаем:
   $$x\in[-1;1)\cup(1;3].$$

4. $$\frac{3x}{x^2+2}\ge 1$$

   Так как $$x^2+2>0$$ при всех $$x,$$ умножим на знаменатель:
   $$3x\ge x^2+2$$
   $$x^2-3x+2\le 0$$
   $$(x-1)(x-2)\le 0.$$

   Отсюда
   $$x\in[1;2].$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;0)\cup\left[\frac23;1\right)$$
б) $$x\in(-\infty;-2)\cup(-1;2)$$
в) $$x\in[-1;1)\cup(1;3]$$
г) $$x\in[1;2]$$